北京市怀柔区数学零模试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科)一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1,2，3｝,B={1，3},则A∩B=（)A．｛2} B．｛1，3｝ C．｛1,2｝ D．｛1，2，3｝2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．（2，3) B．（﹣2,3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3)3．设变量x，y满足线性约束条件,则z=x+2y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．14．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9,则输出的i的值为（)A．1 B．2 C．3 D．45．下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx6．设，为向量，则|•|=｜｜｜|是“∥”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．308．某商场门口安装了3个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色,且这3个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,且相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分）。9．设i为虚数单位，则i（i+1）=．10．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克)12512012210513011411695120134则样本数据落在[114。5，124.5）内的频率为．11．log3，（）0。2，2三个数中最大的数是．12．若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=,则b等于．13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=,则cosB=．14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题:本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（13分）已知函数f（x)=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（Ⅰ)求f（)的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．16．（13分）已知等差数列｛an｝中，a1=3，a2+a5=11．（Ⅰ）求数列{an｝的通项公式an；（Ⅱ）若cn=2+n，求数列{cn}的前10项和S10．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．(Ⅰ）求证:EO∥平面PAD;(Ⅱ）求证:AC⊥PB．18．（13分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；(Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2,B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（14分）已知函数f（x)=ax+lnx(a∈R）．(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程;（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞)，都有f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．20．（14分)已知椭圆E过点A（2，3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上，离心率e=，∠F1AF2的平分线所在直线为l．（Ⅰ)求椭圆E的方程；（Ⅱ）设l与x轴的交点为Q,求点Q的坐标及直线l的方程;（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出；若不存在,说明理由．

2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A=｛1，2，3｝，B={1，3｝，则A∩B=(）A．{2} B．｛1，3} C．{1，2} D．｛1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A=｛1,2，3｝，B={1，3｝,∴A∩B=｛1，3｝．故选:B．【点评】本题考查交集的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用．2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．(2，3） B．(﹣2,3） C．(﹣2,﹣3） D．(2，﹣3）【考点】圆的一般方程．【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念,即可得到所求圆心坐标．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得(x﹣2）2+(y+3）2=13∴圆表示以C(2，﹣3)为圆心，半径r=的圆故选：D．【点评】本题给出圆的一般方程,求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．3．设变量x,y满足线性约束条件，则z=x+2y的最小值为（)A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数2x+y的最小值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令z=0得x+2y=0，显然当平行直线x+2y=0过点A（0,﹣1）时，z取得最小值为﹣2；故选：A．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．执行如图的程序框图,若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b,故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3;第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答．5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数;对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点;故选：D【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断;判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x)与f（x）的关系．6．设，为向量，则｜•|=｜||｜是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的模；平行向量与共线向量．【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解:∵•=，若a,b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角,即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．【点评】本题考查平行向量与共线向量,以及充要条件，属基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选:C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．某商场门口安装了3个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色，且这3个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,且相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(）A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意,由排列数公式计算可得闪烁共有A33=6个不同的顺序，即6个不同的闪烁，由此计算可得闪烁一共需要的时间和间隔一共需要时间，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，要求3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,则共有A33=6个不同的顺序，即6个不同的闪烁；每个闪烁为3秒，则闪烁一共需要6×3=18秒，相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒，则间隔一共需要3×（6﹣1）=15秒，则实现所有不同的闪烁，那么需要的时间为18+15=33秒；故选：B．【点评】本题考查的是排列、组合的应用,要求把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．设i为虚数单位，则i（i+1）=﹣1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i（i+1）=﹣1+i,故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．10．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克)12512012210513011411695120134则样本数据落在［114。5，124。5）内的频率为0.4．【考点】频率分布表．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量,得到要求的频率．【解答】解：∵在12512012210513011411695120134十个数据中，样本数据落在[114。5，124。5）内的有116，120，120,122共有4个，∴样本数据落在［114。5，124。5）内的频率为=0.4，故答案是0.4．【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．11．log3,()0.2，2三个数中最大的数是2．【考点】对数值大小的比较．【分析】log3＜0，（）0.2∈（0，1）,2＞1，即可得出．【解答】解:log3＜0，（）0.2∈（0，1)，2＞1，则三个数中最大的数是2，故答案为：2．【点评】本题查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．12．若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于1．【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，∴，解得b=1．故答案为1【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题．13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB,利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值．【解答】解：∵a=，b=1，∠A=，∴由正弦定理可得:sinB===,∵b＜a,B为锐角,∴cosB==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；(1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；(2)若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是2”;∴甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（13分）（2017•怀柔区模拟）已知函数f（x）=(sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x)的最小正周期及单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）直接将x=代入计算即可．（Ⅱ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；【解答】解：函数f（x）=(sinx+cosx）2+cos2x﹣1．那么：f（）=（sin+cos)2+cos2×﹣1．=（）2+cos=1;（Ⅱ）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T=,由≤2x+（k∈Z）是单调递增，解得：≤x≤,∴函数的单调递增区间为[，］（k∈Z）．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力，函数性质和同角三角函数关系式的计算．属于中档题．16．（13分）（2017•怀柔区模拟）已知等差数列｛an}中，a1=3，a2+a5=11．（Ⅰ）求数列{an｝的通项公式an；（Ⅱ)若cn=2+n，求数列{cn｝的前10项和S10．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ)由已知等式求出公差，然后求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简得到数列{cn}的通项公式，利用分组求和得到所求．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=11=a1+a6．所以a6=8，所以公差为1，所以an=n+2；（Ⅱ）所以cn=2+n=2n+n,所以数列{cn}的前10项和S10=（1+2+…+10）+(2+22+23+…+210）==55﹣2+211=53+211．【点评】本题考查了等差数列的通项公式以及对数列分组求和;属于常规题．17．（13分）(2017•怀柔区模拟)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；（Ⅱ)求证：AC⊥PB．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）通过三角形中位线的性质可得OE∥PD,进而根据线面平行的判定定理可以证明出EO∥平面PAD；（2）先分别证明出AC⊥BD，PD⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面PBD，即可得出结论．【解答】证明：(1）因为底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,所以O为BD的中点．又E为PB的中点，所以EO∥PD．因为EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD．所以AC⊥⊥PB．【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行,线面垂直判定定理的记忆．18．（13分）（2015•山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ)先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数,从而根据古典概型的概率计算公式计算即可;（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解,再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数,这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ)设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45;通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P(A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中"为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（14分)（2017•怀柔区模拟）已知函数f（x）=ax+lnx(a∈R）．（Ⅰ)若a=2,求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ)求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x)＜2成立,求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，可得x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程;（Ⅱ）求出f（x)的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅲ）由题意可得ax+lnx＜2,即为a＜的最小值,令g(x）=，求出导数和单调区间，可得极小值也为最小值，即可得到a的范围．【解答】解:(Ⅰ）若a=2,则f(x)=2x+lnx的导数为f′（x）=2+，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为3,切点为(1，2）,可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1)，即为3x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）函数f(x)=ax+lnx的导数为f′（x)=a+=,x＞0．当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞)递增;当a＜0时，由f′（x）＜0，可得x＞﹣；由f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣．综上可得，当a≥0时，f（x)有增区间（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的增区间为(0，﹣），减区间为（﹣，+∞）；（Ⅲ)若对任意x∈（0,+∞)，都有f（x）＜2成立，即有ax+lnx＜2，即为a＜的最小值，令g（x）=，g′（x)=,当x＞e3时,g′（x）＞0，g（x）递增