用空间向量研究直线、平面的位置关系(1) 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）

耿洪辉精品系列课件《高中数学选择性必修一》第一章空间向量与立体几何学习目标1．掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．3．会用待定系数法求平面的法向量．4．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.1.点的位置向量

空间中点、直线和平面的向量表示PpO

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.2.空间直线的向量表示式laBPAlaBPAO图①图②

3.空间平面的向量表示式

aBCAbPO

注意：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.4.平面的法向量laαAP

例题注意：平面法向量不唯一

在空间直角坐标系中,已知A(3，0,0),B(0，4，0),C(0，0，2),试求平面ABC的一个法向量.

阶段小结

阶段检测（一）

令x=-1，则y=2，z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1)。A

2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)

空间中平行关系的向量表示线线平行l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2线面平行l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则

1.直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行．2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．

阶段小结

例题

在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：EF∥平面ABCD；

阶段检测（二）

平行垂直平行答案:平行

解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.3.若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是

垂直平行相交课堂小结1、理解直线

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