矩阵的初等变换与初等矩阵(完整版)实用资料

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§2.2矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1．矩阵的初等变换定义2.1下列三种变换称为矩阵的初等列变换：（1）交换矩阵的第列，用记之；（2）用非零数乘矩阵的第列，用记之；（3）把矩阵的第列的倍加到第列，用记之。矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。如果矩阵经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵，就称矩阵与(行，列)等价，记作。矩阵的等价具有以下性质：（1）反身性；（2）对称性如果，则；（3）传递性如果，，则。利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。以§为例，矩阵的行最简形为，再经初等列变换化为。称矩阵为矩阵的等价标准形。定理2.1矩阵经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。2．初等矩阵定义2.2由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。相应于矩阵的三种初等变换，初等矩阵(elementarymatrix)有三种：（1）：由单位矩阵交换第行(列)而得的方阵；（2）：由单位矩阵的第行(列)乘非零数而得的方阵；（3）：由单位矩阵的第行乘数加于第行而得的方阵，也即由单位矩阵的第列乘数加于第列而得的方阵。在矩阵的初等变换与初等矩阵之间，存在着一种本质而美妙的关系。定理2.2设。（1）对矩阵施以某种初等行变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵左乘。（2）对矩阵施以某种初等列变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵右乘。证明以第三种初等列变换为例证之。将矩阵和单位矩阵按列分块，，。经列变换，矩阵和单位矩阵分别变换为，。由§1.4节例4.2知，于是。。其余情形请读者证明。由定理2.2可知，初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵，具体如下：，，。定理2.3阶方阵为可逆矩阵的充分必要条件是可以表成若干初等矩阵的乘积。证明若可表成若干初等矩阵的乘积，由初等矩阵可逆，即知可逆。若可逆，则的行最简形为单位矩阵，由定理2.2知，存在初等矩阵，使，于是。定理2.4矩阵与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵及阶可逆方阵，使。更具体地有（1）矩阵与行等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵，使。（2）矩阵与列等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵，使。3．矩阵方程的初等变换解法对一般形式的矩阵方程，可以通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后解之。因此，这里主要介绍标准矩阵方程，的初等变换解法。设为可逆矩阵，则矩阵方程的解为。注意，由定理2.4知，经若干次初等行变换可以化为。对矩阵方程可作类似的分析。因此，我们有（1）矩阵方程的初等行变换解法：，。特别地，取，则有逆矩阵的初等变换求法：。（2）矩阵方程的初等列变换解法：，。例2.1已知，求。解，因此。例2.2设，，，求线性方程组和的解。解设，。记，，则两个线性方程组可合成一个矩阵方程。。线性方程组和的解依次为和。例2.3设，，求解。解，因此。4．矩阵的分块初等变换定义2.3分块矩阵的下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换：（1）对换分块矩阵的两行；（2）以一个可逆矩阵左乘分块矩阵的某一行(的阶数与该行子矩阵的行数相等)；（3）把分块矩阵的第行左乘矩阵加到第行(的列数与第行子矩阵的行数相等，的行数与第行子矩阵的行数相等)。把定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义。分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换，或称为矩阵的分块初等变换。对矩阵施行一次分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换：（1）对矩阵施行一次第一种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第一种初等变换。（2）对矩阵施行一次第二种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换。对分块初等列变换加以说明。设矩阵分块为，其中子矩阵的列数为。以阶可逆矩阵右乘分块矩阵的第列得分块矩阵，由定理2.4知，分块矩阵是分块矩阵对子矩阵施行若干次初等列变换而得的。（3）对矩阵施行一次第三种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第三种初等变换。对分块初等列变换加以说明。设矩阵分块为，其中子矩阵为矩阵。设矩阵，以乘子矩阵的第1列，乘子矩阵的第2列，…，乘子矩阵的第列，都加到子矩阵的第列上()，结果分块矩阵变换为分块矩阵。例2.4设为阶可逆矩阵，为阶可逆矩阵，求矩阵的逆矩阵。解对分块矩阵施行初等行变换。将该分块矩阵的第一行左乘矩阵，第二行左乘矩阵，得矩阵，再将该分块矩阵的第二行左乘矩阵()加到第一行，得矩阵，因此。例2.5设为阶可逆矩阵，为阶方阵，化矩阵为分块对角矩阵。解将分块矩阵的第一行左乘矩阵()加到第二行，第一列右乘矩阵()加到第二列，得分块对角矩阵。由定理2.4可知，以上分块初等变换相当于以下一个矩阵等式。(2.1)事实上，由定理2.4知，存在可逆矩阵，使。由，知。在例2.5所用的分块初等行变换下，单位矩阵变换为。因此。类似地考虑列的情形，可知。在中，将各矩阵的分块形式代入，即得(2.1)式。(2.1)式可直接计算验证(见习题1.4题3)。(2.1)式两边取行列式，即得定理2.5设为可逆矩阵，为方阵，则有舒尔(Schur)公式。注若为可逆矩阵，为方阵，则Schur公式为。习题2.21．用矩阵的初等行变换，求下列矩阵的逆阵：（1）；（2）；（3）。2．用矩阵的初等行变换，求下列方程的解：（1）；（2）。3．设，，求解。4．设，，，求解。5．设为阶可逆矩阵，为阶可逆矩阵，求的逆矩阵。6．设为阶可逆矩阵，为阶可逆矩阵，求的逆矩阵。7．设为阶矩阵，且可逆，，证明。8．设分别为和矩阵，证明。9．设为阶矩阵，为数，证明。第21卷第2期淮北煤师院学报Vol.21No.22000年6月JournalofHuaibeiCoalIndustryTeachersCollegeJun.2000求矩阵秩分解的初等变换法及其应用江旭光(安徽省直职工大学,摘要:本文给出了秩为rA.关键词:分类号:C文章编号:1000-2227(200002-0071-73众所周知,设A是m×n矩阵,秩A=r,则存在可逆的m×m矩阵P,n×n矩阵Q,使Ir0PAQ=,此式称为矩阵A的秩分解[1].对上式一般的教科书中从未给出P、Q的具0体求法,P、Q的初等变换求法如下:下面利用上述P、Q讨论线性方程组解的问题.设有齐次线性方程组(2AX=0式中,A同(1式.设Q=(a1,a2,…,an,则由(1得,Aar+1=0,…,Aan=0,ar+1,…,an是(2的解向量,又秩A=r,Q可逆,得ar+1,ar+2,…,an是齐线性方程组(2的一个基础解系.现考虑一般线性方程组AX=b收稿日期:2000—03—27,男,浙江宁波人,学士,讲师作者简介:江旭光(1956-(372淮北煤师院学报2000年其中b=(b1,b2,…,bmT,X=(x1,x2,…,xnT,A如上.第2期江旭光求矩阵秩分解的初等变换法及其应用73故该方程组通解为η=η0+k1a3+k2a4(k3,k4为任意实数参考文献:[1]张禾瑞,郝钅丙新.高等代数(第三版[M].北京:高等教育出版社,1983.TheElementaryOperationsMethodofRankDecompsionandItsApplicationJIANGXu2guang(StaffandWorkersUniversitySubordinatetoAuhuiProvince,Hefei230001Abstract:Inthispaper,aelementraryoperationsmethodisgivenforfindingfactormatrixinrankdecompositionofmatrixAwithrankrandappliedtosolvelinearequations.Keywrods:rankdecomposition;elementaryoperations;solvelinearequations矩阵初等变换的一个应用马盼云（甘肃—庆阳745000）摘要：本文是在学习了初等矩阵后，灵活运用了矩阵的初等变换来求若干个正整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式，在理论研究的基础上并通过具体的实例来说明用高级数学的方法解决初等数学问题，可以带来意想不到的方便和简捷。（正确和合理是没有问题的，所以就改为方便两字，可以通过。）关键词：矩阵；初等变换；多项式；最大公因数；最大公因式预备知识:在《线性代数》和《高等代数》中矩阵的初等变换指的是在一般的数域F里以下三种变换：（1）用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）;（2）用一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上;（3）交换矩阵的两行（列）的位置。1、环和数域的简单介绍ⅰ、数环设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数来说，都是S中的数，那么S就是一个数环。ⅱ、设F是一个数环，如果1F含有一个不等于零的数；2如果a,bF，且b,则F那么就称F是一个数域2、多项式环里的矩阵的初等变换在整数环Z里矩阵的初等变换和在数域F里一样的，而对于多项式环里的矩阵A=，的初等变换指：1）用一个非零的多项式乘以矩阵的某一行（列）2）用一个多项式乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上3）交换矩阵的两行（列）的位置矩阵的初等变换有很多好处，如何可以用来求可逆矩阵的逆矩阵，解某些矩阵方程，求两个基的过度矩阵等。本文主要讨论矩阵的初等变换在求解若干个正整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式中的应用。设是整数，用表示它们的最大公因数，设表示它们的最大公因式。3、预备定律:引理1、设，则存在，有。引理2、设，则存在，使得。定理1、若可逆矩阵P左乘以A能得到B，则一定可以对A施行行初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以PA=A=B，也就是说对A施行行初等变换能得到B.定理2、若可逆矩阵P右乘以A能得到B，则一定可以对A施行列初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以AP==B，也就是说对A施行列初等变换能得到B。定理3、设，，则一定可以对矩阵，施行列初等变换化为：，其中，X表示矩阵中元素。证明：由引理1知存在使得，所以=d构造一线性方程则显然该方程的解空间为n-1维，人取其n-1个解：，取，构造矩阵P=，则是线性方程组的解。其中，那么P=是一个可逆矩阵。且有=所以根据定理2知，一定可以对矩阵施行初等变换化为，其中，X表示矩阵中元素。定理4、设则一定可以对矩阵施行列初等变换化为其中，x表示矩阵中元素。该定理的证明方法与定理3的证明方法完全类似，这里在不做进一步的证明。4、应用：例1、设，解不定方程解：可通过列初等变换来解该方程所以根据定理3可知：x=2,y=-11例2、令F是有理数域，求的多项式与的最大公因式。解：因为所以根据定理3可知由以上例子可以看出，利用矩阵的初等变换能方便快捷求若干个整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式。参考文献：【1】张禾瑞，郝炳新，高等代数（第四版）[M]北京：高等教育出版社1999，21—22；42—43【2】牟俊霖，李青吉，2005年版洞穿考研数学[M]，北京：航空工业出版社，2005，376—377【3】同济大学应用数学系，工程数学线性代数（第四版）[M]北京：高等教育出版社，2005，59—60【4】张小红，高等代数专题研究选编[M]西安：陕西科学技术出版社，1992，213—214【5】刘仲奎，高等代数（第三版）北京：高等教育出版社习题4-1利用初等变换求下列矩阵的秩；.2．取怎样的数值时，线性方程组有解，并求它的一般解.3．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出它的一般解.证明：含有2个未知量3个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式.这个条件是充分的吗？请分析.5.设、都为矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变换得到（这时我们称与等价）.6.设是一个阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形的充分且必要条件是.7．若，，.证明：秩秩+秩.8．证明，线性方程组有解的充分必要条件是.这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？9．证明：若与同时有解，则.10．解齐次线性方程组(1)（2)11．分别求使以下齐次线性方程组有非零解.(1)(2)12．设(1)证明：若(1)有解，则又，逆命题是否成立？习题4-2求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)(2)2.证明：如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明：(1)是方程组的一个解；(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数.3.给出平面上个点共线的充分必要条件.4.给出平面上条直线共点的充分必要条件.5.写出通过三点（1，2），（1，-2），（0，-1）的圆方程.6.给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周上的充分必要条件.7.证明：的任意一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间.8.证明：的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交.9.求以下非齐次线性方程组的通解(1)(2)(3)10.设是非齐次线性方程组的任意个解，，证明：当且仅当时，也是这个非齐次线性方程组的解.11.设是非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的基础解系.证明：(1)线性无关；(2)也线性无关；(3)如果是这个非齐次线性方程组的任意解，则线性无关；(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数,，使得.矩阵的初等变换与应用0922021241078一、矩阵概念线性方程组系数的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数为（i,j）元的矩阵可记作或，m×n矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1；.（换行或换列）(2；（数）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成.记作.（1）等价的性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即．即存在有限个初等矩阵,使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵.（行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵）（等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.①或均对应初等方阵:②或均对应初等矩阵:③或均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质.重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵①;②,;③.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.①;②,;③.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵.【性质2】方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则①存在阶可逆矩阵,使.②存在阶可逆矩阵,使.③分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又即，所以,用分块矩阵运算表示为..②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即.(2解线性方程组，其中可逆.则，即.(3解矩阵方程，其中可逆，则即.【定理6】矩阵方程有解的充要条件是.例2设，求线性方程组的解.解设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3矩阵的阶子式：(1