矩阵的初等变换与线性方程组课件

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组9/18/20231第三章

矩阵的初等变换与线性方程组8/6/20231§1矩阵的初等变换引例求解线性方程组9/18/20232§1矩阵的初等变换引例求解线性方程组8/6/2023用消元法9/18/20233用消元法8/6/202339/18/202348/6/20234令代入方程组，得解9/18/20235令代入方程组，得解8/6/20235消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；（2）以非零的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的．9/18/20236消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；（2）以非零的数定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换

(把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。9/18/20237定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。9/18/20238三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一8/6/20238若矩阵

A经过有限次初等变换变成

B，则称

A与B等价，记作A

～

B.矩阵的等价关系满足：

反身性

A

～

A；

对称性

若A

～

B，则B

～

A；

传递性

若A

～

B，B

～

C，则A

～

C。9/18/20239若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称A与矩阵的等(1)的增广矩阵线性方程组9/18/202310(1)的增广矩阵线性方程组8/6/2023109/18/2023118/6/202311行阶梯形9/18/202312行阶梯形8/6/202312行最简形令9/18/202313行最简形令8/6/202313等价标准形9/18/202314等价标准形8/6/202314任一m×n矩阵A

都等价于一个如下的矩阵

称为A的等价标准形。9/18/202315任一m×n矩阵A都等价于一个如下的矩阵称为A的§2

初等矩阵定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应9/18/202316§2初等矩阵定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称9/18/2023178/6/2023179/18/2023188/6/2023189/18/2023198/6/202319三类初等矩阵：其中9/18/202320三类初等矩阵：其中8/6/202320三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。9/18/202321三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置8/6/20232定理1：设A为m×n矩阵，则

9/18/202322定理1：设A为m×n矩阵，则8/6/2023229/18/2023238/6/202323方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。定理2：证明：充分性.必要性.9/18/202324方阵A可逆的充要条件是A可以表示为定理2：证明：充分性.方阵A可逆的充要条件是A~E推论1：推论2：m×n阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。9/18/202325方阵A可逆的充要条件是A~E推论1：推论2：m×n阵例.9/18/202326例.8/6/202326即9/18/202327即8/6/202327解：例：9/18/202328解：例：8/6/2023289/18/2023298/6/2023299/18/2023308/6/202330例：解：初等行变换9/18/202331例：解：初等行变换8/6/2023319/18/2023328/6/2023329/18/2023338/6/202333§3

矩阵的秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。A的一个2阶子式：9/18/202334§3矩阵的秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。例4.求矩阵A和B的秩,其中9/18/202335定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数例4.求矩阵A和2阶子式3阶子式|A|=03阶子式4阶子式都=0

∴R(A)=2∴

R(B)=39/18/2023362阶子式3阶子式|A|=03阶子式4阶子式都定理3若A~B,则R(A)=R(B).

事实上，若A经过一次初等变换变为B，A的

k阶子式全等于零,则B的k阶子式也全等于零。9/18/202337定理3若A~B,则R(A)=R(B).性质1.

若A的所有r阶子式(如果有)全等于零，则阶数大于r的所有子式全等于零。若A的所有k阶子式全等于零,则R(A)<k2.若A有一个k阶子式非零,则R(A)≥

k3.若A为m×n矩阵,则0

≤

R(A)≤

min{m,n}4.9/18/202338性质1.若A的所有r阶子式(如果有)全等于零，若A5.R(PAQ)＝R(A),其中P,Q为可逆矩阵。9.

若则6.7.8.9/18/2023395.R(PAQ)＝R(A),其中P,Q为可逆矩设,则故9/18/202340设,则故8/6/202340注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。将C1看成一个n阶矩阵划去了n-r1行,n-r2列，于是有9/18/202341注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩8/6/20234§3线性方程组的解9/18/202342§3线性方程组的解8/6/202342化为行最简形矩阵不妨假定9/18/202343化为行最不妨假定8/6/202343(#)9/18/202344(#)8/6/202344(1)若，则(#)无解。(2)若则(#)有解，并且当时，有唯一解。时，有无穷多解。9/18/202345(1)若，则(#)无解。非齐次性线性方程组解的条件

定理4：非齐次线性方程组有解的充要当时，有唯一解；当时，有无穷多解。条件是，并且9/18/202346非齐次性线性方程组解的条件定理4：非齐次线性方程组有解的充例10：求解线性方程组解：9/18/202347例10：求解线性方程组解：8/6/202347可知方程组无解。9/18/202348可知方程组无解。8/6/202348例11：求解线性方程组解：9/18/202349例11：求解线性方程组解：8/6/2023499/18/2023508/6/202350得令故9/18/202351得令故8/6/2023519/18/2023528/6/202352齐次性线性方程组解的条件

定理6：齐次线性方程组有非零解的充要条件是9/18/202353齐次性线性方程组解的条件定理6：齐次线性方程组例9：求解齐次线性方程组解：9/18/202354例9：求解齐次线性方程组解：8/6/2023549/18/2023558/6/2023559/18/2023568/6/202356矩阵方程有解的条件

定理6：矩阵方程有解的充要