【2021中考数学】二次函数图像与系数的关系含答案

2021年九年级中考数学二次函数图像与系数的关系

1.如图，抛物线y=，+6x+c与x轴交于点/（-1,0）,顶点坐标（1,n）,抛物线

与尸轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①a+d+c>0;

②对于任意实数总成立；③关于王的方程A有两个相

等的实数根；④其中结论正确个数为（）

'r=1

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，抛物线？=a/+ZJX+C（a片0）的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为

（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：①"-4ac>0;②方程a^+bx+c=Q

的两个根是为=-1,9=3：③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是

⑤当xvO时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）

-1/0：1

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，抛物线尸（a片0）与x轴交于点（-3,0）,其对称轴为直线A

-p结合图象分析下列结论：

①abc>0;

②3a+c>0;

③当xvO时，y随x的增大而增大；

4a

⑤若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则m<-3且n>2.

其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

4.已知二次函数y=aW+bx+c（a,b,c是常数，a力0）图象的对称轴是直线x=1,其

图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc<0；②2a+》=0;③当-lvx<3时，y

>0;@a-b+c<0;®2c-3b>0.其中正确结论的个数是（）

C.4D.5

5.如图，抛物线尸aW+6x+c的对称轴为x=-l,且经过点（-3,0）.下列结论:

①abc<0;

②若（-4,%）和（3,y2）是抛物线上两点，则%>%；

③a+加CV0;

④对于任意实数m,均有an^+bm+c>-4a.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，抛物线xaW+Ax+c（a片0）的抛物线的对称轴为直线x=1,与A•轴的一个交

点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，以下结论：①abc<";②方程/+6x+c

=0的两根是为=-1,9=3;③3a+c>0;④当y>0时，x的取值范围是-1WxW3;

⑤当xi<0时，y随x的增大而增大.其中正确个数是（）

—>x

A.4B.3C.2D.1

7.如图，抛物线>=且乎+/«+。（a*0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线x=l,

结合图象给出下列结论：

①abc<0;

②4a-2d+c=0;

③当x>l时，y随*的增大而增大；

④关于x的一元二次方程"+加:+'=0有一个实数根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知二次函数（a片0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①a5c>0;

②2a-b=0;

③9a+3d+c>0;

@c<-3a;

⑤a+b》m（am+b）,

C.4个D.5个

9.如图所示是二次函数y=a^+bx+c（a声0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的

是（）

A.ac<0

B.抛物线的对称轴为直线x=l

C.a-b+c=0

D.点（一2,%）和（2,y2）在抛物线上，则%>理

10.如图，二次函数y=分2+bx+c的图象经过点/（-3,0）,其对称轴为直线X=-1,

有下列结论：①a/?c<0;（2）a+ZM-c<0;③5a+4cv0;@4ac-^>0;⑤若尸（-5,

%），Q[m,y2）是抛物线上两点，且则实数切的取值范围是-5<m<3.其

中正确结论的个数是（）

C.3D.4

11.抛物线尸=薪+历什。经过点（-2,0）,且对称轴为直线x=l,其部分图象如图所

示.对于此抛物线有如下四个结论：

①b=2a;

②4a+2b+c>0;

③若Z2>/22>0,则X=l+m时的函数值小于X=1-刀时的函数值;

④点（年，0）一定在此抛物线上.

2a

其中正确结论的个数是（）

C.2个D.1个

12.如图，二次函数y=a/+bx+c（a*0）的图象的对称轴是直线x=l,则以下四个结

论中：①abc>0,②2a+b=0,③4a+〃v4ac,④3a+cv0.正确的个数是（）

13.如图，二次函数片戏+bx+c（a>0）的图象与x轴交于/,B两点,与y轴正半轴

交于点G它的对称轴为直线x=-l.则下列选项中正确的是（）

B.4ac-2^>0

C.c-a>0

D.当x=-〃-2（A为实数）时，y>c

14.抛物线厂a^+bx+cM#。）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0）,

抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：①abc>0;②2a+3=0;③方程a^+bx+c

=2有两个不相等的实数根；④4a-2加c=0;⑤若点月（m,n）在该抛物线上，则

an?+bm+c<a+b+c,其中正确的个数有（）

x=l

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.已知二次函数尸=2寸-加计1,当xvl时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范

围为（）

A.b<4B.b>2C.d<2D.b>4

16.二次函数尸aW+bx+c的图象如图所示，其对称轴为*=1,有下列结论

①abc<0;②£>va+c;③4a+2加<?<0;④a+b>m(am+b),

C.①④D.②④

17.如图是二次函数片图象的一部分，对称轴为x=£，且经过点（2,

0）.下列说法:

®abc<0-,②-2/c=0;③4a+2d+cvO;④若%），（-|,%）是抛物线

上的两点，则归<%；⑤》｛am+b）（其中m上卷）.

其中说法正确的是（）

B.①②④C.①④⑤D.③④⑤

18.二次函数尸的图象如图所示，有如下结论:

①abc>0;

②2a+b=0;

③3b-2cv0;

@azn2+bm>a+b(zn为实数).

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

19.如图，抛物线》i=a（x+2）2-3与艺/（x-3）2+1交于点/（1,3）,过点力

作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点C.则以下结论：①无论x取何值，为的

值总是正数;②2a=1;③当x=0时,%-%=4；④2/8=3/。;其中正确结论是（）

C.③④D.①④

20.如图，抛物线尸症+以+<?的对称轴为x=-l,且过点（4，0）,有下列结论：其

中正确的结论是（）

①abc>0;

（2）a-2£H-4C>0;

③2a+b=0;

@3d+2c>0.

C.①②D.②④

参考答案

1.解:由图象可知，当X=1时，y>0,

，a+加c>0,所以①正确；

••・抛物线的顶点坐标（1,n）,

.•.x=l时，二次函数值有最大值A,

.,.a+ZM-c>am2+bm+c,

即a+b>arrP+bni,所以②正确；

••・抛物线的顶点坐标（1,n）,

，抛物线y=与直线y=z?有一个交点，

，关于x的方程翁+bx+c=n有两个相等的实数根，所以③正确;

:抛物线了二女+儿介。与x轴交于点Z（-1,0）,

:.a-b+c=0,

Yb=-2a,

•,.a+2a+c=0,

c=-3a,

*/2<c<3,

••・24-3a<3,

9

••・一l《aW-李所以④正确；

o

故选：D.

2.解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

.•.△="-4ac>0,故①正确；

②（-1,0）关于直线x=l的对称点为（3,0）,

.,.aV+bx+cuO的两个根是为=-1,芍=3,故②正确；

③对称轴为x=1,

故一2=1，

b=-2a,

■:X=-1时，y=0,

.'.a-ZM-C=O,即3a+c=0,故③错误；

④当y>0时，由图象可知：-1<牙<3,故④错误；

⑤当XVI时，y随着X的增大而增大，故⑤正确；

故选：B.

3.解：由抛物线了二数+初^^^（a*0）与x轴交于点（-3,0）,其对称轴为直线牙=

-和得，

9a-3d+c=0,--^-=-即a=b,与x轴的另一个交点为（2,0）,4a+2加c

2a2

=0,

抛物线开口向下，a<0,b<0,

抛物线与y轴交于正半轴，因此c>0,

所以，abc>0,因此①正确；

由9a-3ZHC=0,而且=》，

所;以6a+c=0,又a<0,

因此3a+c>0,所以②正确；

抛物线的对称轴为才=-a<0,因此当时，y随工的增大而增大，所以③

不正确；

由于抛物线的顶点在第二象限，所以4ac-b>o,因此b4ac<0,故④正确；

4a4a

抛物线与x轴的交点为（-3,0）（2,0）,

因此当片-3时，相应的x的值应在（-3,0）的左侧和（2,0）的右侧，

因此m<-3,n>2,所以⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②④⑤，

故选：B.

4.解：,•・抛物线开口向下，贝ija<0.

对称轴在y轴右侧，a、b异号，则d>0.

抛物线与y轴交于正半轴，则00,

:.abc<0,故①正确；

・.・抛物线的对称轴是直线Al,则-?=1,b=-2a,

:.2a+b=b,故②正确；

由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和-1之间，在两个交点之间时，y>0,

在x=-l时，y<0,故③错误；

当x=-1时，有y=a-Zn-c<0,故④正确；

由2a+b=0,得2=-£,代入a-加cvO得-当•+c<0,两边乘以2得2c-3b

<0,故⑤错误.

综上，正确的选项有：①②④.

所以正确结论的个数是3个.

故选：B.

5.解：•••二次函数的图象开口向上，

.*.a>0,

•••二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，

r.c<0,

・•・对称轴是直线X=-l,

.b1

2a

b=2a>0,

：.abc<0,故①正确；

•••（-4,不）关于直线x=-l的对称点的坐标是（2,%）,

又♦.・当尔>-1时，y随x的增大而增大，2<3,

・'/1<必，故②错误；

••.抛物线的对称轴为x=-l,且过点（-3,0）,

•.・抛物线与x轴另一交点为（1,0）.

.,.当x=l时，y=a+bJ<-c—G,故③错误；

•.,当x=l时，y=a+b+c=O,b=2a,

c=—3a,

•••抛物线的对称轴为直线x=-l,

.,.当x=-1时，y有最小值，

azr^+bm+cAa-加c（m为任意实数），

：.an^+bm+c>-4a,故④正确，

故结论正确有2个.

故选：B.

6.解：,•,抛物线开口向下，

：.a<Q,

•.・对称轴在y轴的右侧，

>0,

2a

.'.b>0,

••・抛物线交y轴的正半轴，

：.c>0,

abc<0,

:.abc<kP,故①正确；

••・抛物线的对称轴为直线x=1,

而点（-1,0）关于直线*=1的对称点的坐标为（3,0）,

，方程的两个根是-1,巧=3,故②正确;

,:x=——=1,即Z?=-2a,

2a

而x=-1时，y=0,即a-d+c=0,

.\a+2a+c=0,即3a+c=0,故③错误；

由②得，方程#+bx+c=。的两个根是的=-1,9=3,

••・抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）,（3,0）,

又抛物线开口向下，对称轴为直线，=1,

.•.当y>0时，x的取值范围是-1VXV3,故④错误；

当XV时，y随x的增大而增大，故⑤正确；

因此正确的结论有3个.

故选：B.

7.解：抛物线开口向上，则a>0,对称轴x=-?=l,则b=-2a<0.与y轴交于负

半轴，则CVO,故a》c>0,所以①错误；

抛物线对称轴为x=l,与x轴的一个交点为（4,0）,则另一个交点为（-2,0）,

于是有4a-2加，=0,所以②正确；

x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程，+bx+c=0有两个不相等

的实数根，所以④错误；

综上所述，正确的结论有：②③，

故选：B.

8.解：①••,对称轴在y轴的右侧，

.*.ab<09

由图象可知：c>0,

:・abc<b,

故①不正确；

②・.•x=-g=l,

Na

b=-2a,

「.2a+b=0,

故②不正确；

③由对称知，当x=3时，函数值小于0,即y=9a+3加cvO,

故③不正确；

@'：b=-2a,a-d+c<0,

.,.a+2a+cv0,

3a<-c9即c<-3a,

故④正确；

⑤当x=l时，y=a+£n■。值最大.

.\a+b+c>am2+bm+c,

2

a+b>am+bm9BPa+b>m（am+b）,

故⑤正确.

故④⑤正确.

故选：A.

9.解：/、•.・抛物线开口向上，交y轴的负半轴，

：.a>0,c<0,

：.ac<G,故/正确；

B、••・抛物线经过点（-1,0）和点（2,0）,

••・抛物线的对称轴为直线牙=得2=],故B不正确;

C、当x=l时，y=a-b+c=0,故。正确；

D、点（-2,月）和（2,为）在抛物线上，

•.•乃>0,y2=0,

，不>外,故。正确；

故选：B.

10.解：①观察图象可知：

a>0,d>0,c<0,.,.abc<0,

•••①正确；

②当x=l时，/=0,即a+/ri"C=0,

.•.②错误；

③对称轴x=-l,即-?=一1

得b=2a,

当*=]时，y<0,

即工a+工d+cvO,

42

即a+2b+4cv0,

5a+4c<0.

・•・③正确；

④因为抛物线与x轴有两个交点，

所以△>（）,即4ac>0,

/.4ac-UvO.

，④错误；

⑤・••（-5,%）关于直线x=-l的对称点的坐标是（3,%）,

.,.当时，-5vmv3.

..•⑤正确.

故选：C

11.解：.•.抛物线的对称轴为直线x=l,

--=1,

2a

，b=-2a,故①错误；

••・抛物线的对称轴为直线x=1,

而点（-2,0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4,0）,

.•,抛物线开口向下，

.,.当x=2时，y>0,

，4a+2/c>0,故②正确；

V抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,

，横坐标是1-A的点的对称点的横坐标为1+A,

•.,若

l+n>l+m9

：.x=l+m时的函数值大于x=l-n时的函数值，故③错误；

b=-2a,

，抛物线为尸a/-2SA+C,

•.•抛物线尸a^+bx+c经过点（-2,0）,

/.4a+4a+c=0,即8a+c=0,

c=-8a,

--=4,

2a

••・点（-2,0）的对称点是（4,0）,

••・点（-3,0）一定在此抛物线上，故④正确，

故选：C.

12.解：①根据抛物线开口向下可知:

avO,

因为对称轴在y轴右侧，

所以b>o,

因为抛物线与y轴正半轴相交，

所以c>0,

所以abc<0,

所以①错误；

②因为抛物线对称轴是直线x=1,

即一界,

所以b=-2a,

所以加2a=0,

所以②正确；

③因为b=-2a,

由4a+〃<4ac,得

4a+4a2<4ac,

•：a<0,

c<1+a,

根据抛物线与y轴的交点，oi,

所以③错误；

④当-1时，y<0,

即a-ZM-C<0,

因为b=-2a,

所以3a+c<0,

所以④正确.

所以正确的是②④2个.

故选：8.

13.解：由图象开口向上，可知a>0,

与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0,

又对称轴方程为X=-1,所以-gvo,所以比>0,

2a

：.abc>Q,故/错误；

,二次函数(a>0)的图象与x轴交于4B两点,

B-4ac>0,

.-.4ac-^<0,故B错误；

•/--=-1,

2a

••b—2a,

二•当x=-1时，y=a-b+c<0,

.*.a-2a+c<0,

:.c-a<09故。错误；

当x=-n2-2(n为实数)时，y=a^+bx+c=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=an2

(ZT2+2)+C,

,.'a>0,n2>0,n2+2>0,

,\y=an2(n2+2)+c>c,故。正确，

故选：D.

14.解：由图象可得，

a<0,b>0,c>09

:.abcvb,故①错误，

一?=1,则b=-2a,故2a+6=0,故②正确；

2a

抛物线与直线尸2有两个交点，故方程分2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故③正

确；

；抛物线y=&^+bx+c(axO)与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是

x=l,

该抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),

.•.当x=-2时，y=4a-2加c=0,故④正确；

•.•当x=l时，该函数取得最大值，此时y=a+9c,

:.点4(m,n)在该抛物线上，贝ijan？+bm+cWa+Zj+c,故⑤正确;

故选：D.

15.解：'：y=2^-bx+1,

・••对称轴为牙=与，

4

•.•当x<l时，y随x的增大而减小，

—>1,

4

故选：D.

16.解：①根据图象可知：

a<0,c>0,对称轴在y轴左侧，二人>0,

abc<0.

•••①正确；

②根据图象可知：当x=-l时，y<0,

EPa-ZH-C<0,BPb>a+c.

.•.②错误；

③观察图象可知：当x=2时，y>0,

即4a+2b+c>0.

.・.③错误.

④•.•当x=l时，顶点的纵坐标最大，

am2+bm+c,

:.a+b>m(am+b),

・•.④正确.

所以①④，2个.

故选：C

17.解：①•.,抛物线开口向下，

.,.a<0,

••・抛物线对称轴为x=-A，

b=-a>0,

••,抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.,.c>0,

.\abc<0,

所以①正确；

②,•・对称轴为王=/,且经过点（2,0）,

.♦・抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

/.—=-1X2=-2,

a

「•c=-2a,

-2Z?+c=2a-2a=0

所以②正确；

③・•・抛物线经过（2,0）,

••・当x=2时，y=0,

.*.4a+2/?+c=0,

所以③错误；

④；点（-趣