人教版新高一初升高数学《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》专题知识衔接过关讲义

2021-2022新高一初高中衔接辅导课程(解析版)衔接教材07二次函数旷=2+bx+c的图象和性质ax2知识点讲解1.二次函数的三种表示方式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0),其中顶点坐标是(一h,k).交点式：y=a(x—x1)(x—x2)(a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y=以2+bx+C(。≠0)的图象与X轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(。≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2—4ac有关，由此可知，抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)与X轴交点个数与根的判别式Δ=b2—4ac存在下列关系：(1)当Δ>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)⅛x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)与X轴有两个交点，则Δ>0也成立.(2)当Δ=0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)⅛x轴有一个交点，则Δ=0也成立.(3)当Δ<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)⅛X轴没有交点，则Δ<0也成立.于是，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴有两个交点A(X1,0),B(x2,0),则X1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以x1+x2=一b,xIx2=—,1 2a12a即一=一(x1+x2),—=x1x2.所以y=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)=a[x2—(x1+x2)x+x1x2]=a(xa a aa—x1)(x—x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—x1)(x—x2)(a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法：交点式：y=a(x—x1)(x—x2)(a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．.二次函数V=ax2+bx+c的图像和性质问题1函数y=GX2与y=X2的图象之间存在怎样的关系？1为了研究这一问题，我们可以先画出y=2X2,y=-X2,y=—2X2的图象，通过这些函数图象与2函数y=X2的图象之间的关系，推导出函数y=GX2与y=X2的图象之间所存在的关系.先画出函数y=X2,y=2X2的图象.先列表：X-3-2-10123X2-9--4--1-0-1--4--9-2x2188202818从表中不难看出，要得到2X2的值，只要把相应的X2的值扩

大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y=X2,y=2X2的图象(如

图2－1所示),从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间

的关系：函数y=2X2的图象可以由函数y=X2的图象各点的纵

坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=-X2,y=一

22X2的图象，并研究这两个函数图象与函数y=X2的图象之间

的关系．图2.2-1通过上面的研究,我们可以得到以下结论：二次函数J=〃尤2(α≠0)的图象可以由ʃ=元2的图象各点的纵

坐标变为原来的a倍得到.在二次函数J=a元2(a≠0)中，二

次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的

开口的大小．问题2函数y=α(X+h)2+k与y=gx2的图象之间存在怎样的

关系？同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系

来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(X+1)2

+1与y=2X2的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们

不难发现，只要把函数y=2X2的图象向左平移一个单位，

再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(X+1)2+1的图

象．这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y=-3X2,y=-3(x-1)2+

1的图象,研究它们图象之间的相互关系．图2.2-2通过上面的研究,我们可以得到以下结论：二次函数J=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=GX2+bx+C(G≠0)的图象的方法：b bIb2、Ib2 /.b、,b2—4ac由于y-ax2十bx十c一a（X2十一X）十c一a（X2十—x十 ）十c一一=a（X+一）2+ ,a a 4a2 4a 2a 4a所以，y一ax2+bx十C(a≠0)的图象可以看作是将函数y一ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)具有下列性质：(1)当a>0时，函数V—ax2+bx十C图象开口向上；顶点坐标为(-b-,4acb2)，对称轴为2a 4a直线X一一L；当X<—b时，V随着X的增大而减小；当X>—b时，V随着X的增大而增2a 2a 2a大；当X一一L时，函数取最小值V一4ab2•2a 4a(2)当a<0时，函数V一aX2+bX十C图象开口向下；顶点坐标为(-L,4ac一b2)，对称轴为2a4a直线X一一L；当X<一L时，V随着X的增大而增大；当X>-L时，V随着X的增大而减2a 2a 2a小；当X一一L时，函数取最大值V一4aL.2a 4a上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．.二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y=x2—4X+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y=2X2—4x—3的解析式可变为y=2(x—1)2—1,其顶点坐标为(1,—1).(1)把函数j=2(X—1)2—1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3,—2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为j=2(X—3)2—2.(2)把函数J=2(X—1)2—1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(—1,2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式

就J=2(X+1)2+2.2．对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称

变换时,有什么特点？依据这一特点,可以怎样来研究二次函数

的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直

线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图象的

位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图

象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和图2.2—7开口方向来解决问题.经典例题解析例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,—1),求二次函数的解析式.分析：在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数。.解：・・・二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，•・顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上，所以，2=x+1,・•・X=L•・顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为J=a(X-2)2+1(a<0)I二次函数的图像经过点(3,—1),・•・-1=a(3-2)2+1，解得a=—2.•・二次函数的解析式为j=-2(X-2)2+1,即y=—2X2+8X—7.说明：在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到X轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与X轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：・・・二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・••可设二次函数为y=a(X+3)(X—1)(a≠0),展开，得y=ox2+2aX—3a，顶点的纵坐标为“a2-4a2=-4。4a由于二次函数图象的顶点到X轴的距离2,.,.|—4a|=2,即a=±-.所以，二次函数的表达式为y=—X2+X-3,或y=——X2-x+32 2 2 2 2分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线X=—1,又由顶点到X轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：・・・二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・•・对称轴为直线X=一1.又顶点到X轴的距离为2,・••顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为y=a(X+1)2+2,或y=a(x+1)2—2,由于函数图象过点(1,0),.∙.0=a(1+1)2+2,或0=a(1+1)2—2.Λa=-1,或a=1.所以，所求的二次函数为y=22—1(X+1)2+2,或y=1(X+1)2—2.22例3已知二次函数的图象过点(—1,—22),(0,—8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0).—22=a—b+c,由函数图象过点(一1,—22),(0,—8),(2,8),可得1—8=C,8=4a+2b+c,解得a=—2,b=12,c=—8.所以，所求的二次函数为y=—2X2+12X—8.例4求二次函数y=—3X2—6X+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当X取何值时，y随X的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：,「y=一3X2—6X+1=—3(X+1)2+4,・•・函数图象的开口向下；对称轴是直线x=一1；顶点坐标为(一1,4)；当X=—1时，函数y取最大值y=4；当X<—1时，y随着X的增大而增大；当X>—1时，y随着X的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(—1,4)),与X轴交于点B(2、；-3,0)和C(—笑+3,0),与y轴的交点为0(0,1),过这五点画出图象(如图2—5所示).说明：从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.例5某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价X(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日销售量y是销售价X的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量y×(销售价X—120),日销售量y又是销售价X的一次函数

所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价X之间的函数关系

然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是X的一次函数，于是，设y=kx+(B)[70=130k+b,将X=130,y=70；X=150,y=50代入方程，有4150=150k+b,,,解得k=—1,b=200..∙∙y=—X+200.设每天的利润为Z(元)，贝UZ=(—X+200)(X—120)=—X2+320X—24000=—(X—160)2+1600,.当X=160时，Z取最大值1600.答：当售价为160元/件时,每天的利润最大,为1600元.例6把二次函数y=x2+bx+C的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=X2的图像，求b,C的值.解法一：尸X2+bx+c=(X+2)2+C-4，把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位，得至|y=(%+2+4)2+c+2的图像，也就是函数尸X2的图像，所以， 4=0,<2 解得b=-8，c=14.b2C F2=0,14解法二：把二次函数y=X2+bx+C的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=X2的图像，等价于把二次函数y=X2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=X2+bX+C的图像.由于把二次函数y=X2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x—4)2+2的图像，即为y=X2—8X+14的图像，，函数y=X2—8X+14与函数y=X2+bX+C表示同一个函数，.∙.b=—8，C=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例7已知函数y=X2，一2≤x"，其中a2—2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量X的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论.解：(1)当a=—2时，函数y=X2的图象仅仅对应着一个点(一2,4)，所以，函数的最大值和最小值都是4,此时X=—2；(2)当一2<a<0时，由图2.2—6①可知，当X=—2时，函数取最大值y=4；当X=a时，函数取最小值y=a2；(3)当0≤a<2时，由图2.2—6②可知，当X=—2时，函数取最大值y=4；当X=0时，函数取最小值y=0;(4)当a≥2时，由图2.2—6③可知，当X=a时，函数取最大值y=a2；当X=0时，函数取最小值y=0.图2.2—6说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对α的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例8求把二次函数y=x2—4X+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式:(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y=2X2—4X—3的解析式可变为y=2(x—1)2—1,其顶点坐标为(1,—1).(1)把函数y=2(X—1)2—1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3,—2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(X—3)2—2.(2)把函数y=2(X—1)2—1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(—1,2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(X+1)2+2.例9求把二次函数y=2X2—4X+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：(1)直线X=—1；(2)直线y=L解：(1)如图2.2—7,把二次函数y=2X2—4X+1的图象关于直线X=—1作对称变换后，只改变图象的顶点位置,不改变其形状.由于y=2X2—4X+1=2(X—1)2—1,可知，函数y=2X2—4X+1图象的顶点为A(1,—1),所以，对称后所得到图象的顶点为A1(—3,1),所以，二次函数y=2X2—4X+1的图象关于直线X=—1对称后所得到图象的函数解析式为y=2(X+3)2—1,即y=2X2+12X+17.(2)如图2.2—8,把二次函数y=2X2—4X+1的图象关于直线X=—1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形状.由于y=2X2—4X+1=2(X—1)2—1,可知，函数y=2X2—4X+1图象的顶点为A(1,—1),所以，对称后所得到图象的顶点为B(1,3),且开口向下，所以，二次函数y=2X2—4X+1的图象关于直线y=1对称后所得到图象的函数解析式为y=—2(X—1)2+3,即y=—2X2+4X+1.实时训练一、单选题1由于卷面污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=X2+bx+C的图象经过(1,0)”求证：这个二次函数的图象关于χ=2对称.根据已知信息，题中二次函数图像不具有的性质是( )A.过点(3,0) B.在x轴上截线段长是2C顶点(2,-2) D.与y轴交点是(0,3)【答案】C【详解】已知二次函数y=χ2+bx+c的图象经过(1,0),...,这个二次函数的图象关于直线X=2对称则：函数图象过(3,0)或在X轴上截线段长为2与y轴交点可能是(0,3)顶点的纵标不确定，C不一定对.故选C.2.已知二次函数y=X2+bx+c的图象经过(1,0),(2,5)两点，则二次函数的解析式为()A．y=x2+2x-3 B．y=x2-2x-3C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6【答案】A【分析】将点(1,0),(2,5)代入二次函数的解析式中，可求出函数的表达式.【详解】解：(1)把点(1,0),(2,5)代入y=x2+bx+c，11+b+C=0得J|4+2b+c=5，解得，所以这个二次函数的解析式为：y=X2+2X-3故选：A.【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础题．.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y=X2+bχ+C的图像经过(1,0),…，求证：这个二次函数的图像关于直线X=2对称”，根据已知消息，题中二次函数图像不具有的性质是().A.在X轴上的截线段长是2 B.与>轴交于点(0,3)C.顶点(2,-2) D.过点(3,0)【答案】C【解析】【分析】因为要证二次函数关于x=2对称，所以由过(1,0)和对称轴x=2,可求得函数的解析式为y=X2-4X+3，可逐个分析各个选项。【详解】A、因为图像过点(1,0)，且对称轴是直线X=2，另一点对称点(3,0),故A正确；B、由过(1,0)和对称轴x=2,可求得函数的解析式为y=X2-4X+3，故函数与y轴交点为(0,3)故B正确；C、由过(1,0)和对称轴x=2,可求得函数的解析式为y=X2-4X+3，顶点坐标为(2,-1),故C错误；D、y=X2-4X+3,y=0时，有一个解为X=3，故函数与X轴交点有(3,0),故D正确.故选C.【点睛】本题函数由二次函数条件求二次函数解析式,同时考查二次函数的图像特征。\o"CurrentDocument".已知m<一2,点(m-1,y),(m,y),(m+1,y)都在二次函数y=X2-2X的图象上，则( )12 3A y1S2 J3 B. y3<y2土C y1<y3<y2 D∙ y27 3【答案】B【分析】根据二次函数y=X2-2X的对称轴、开口方向和单调性确定正确选项.【详解】二次函数y=X2-2X的对称轴为X=1，开口向上，在(-∞,1)上递减，由于m<-2,贝Um一1<一3,m<一2,m+1<一1且m一1<m<m+1所以y3J2<U.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.二、填空题5.已知二次函数的图象经过三点(0,1),(1,2),(2,-1)那么这个二次函数的解析式为【答案】y=-2X2+3X+1【分析】设二次函数的一般式f(X)=aX2+bX+c，代入三点坐标后求解.【详解】‘C=1 『=-2设f(X)=aX2+bX+c,则Sa+b+c=2 ,解得Sb=b,4a+2b+c=-1 [c=1.∙.f(X)=-2X2+3X+1.【点睛】二次函数解析式的三种形式：顶点式：f(X)=a(X-m)2+h,两根式：f(X)=a(X-xJx-x2),一般式：f(X)=ax2+bx+c..已知a>2点(a一1,y),(a,y),(a+1,y)都在二次函数y=X2一2X的图象上,y,y,y的大小1 2 3 1 2 3关系为.【答案】y<y<y123【分析】求得二次函数y=X2-2X的单调区间，由此判断y1,y2,y3的大小关系.【详解】由于二次函数y=X2-2X的对称轴为X=1,开口向上，故函数在（-∞,D上递减，在（1,+∞）上递增.而a>2，所以1<a-1<a<〃+1，故χ<y2<丁3.故填：弓<丁?<y3.【点睛】本小题主要考查二次函数的性质，考查函数的单调性比较大小，属于基础题..若二次函数y=aX2-bX-1的图象经过点（2,1），则代数式2019-2a+b的值等于.【答案】2018【分析】首先根据二次函数y=aX2-bX-1的图象经过点（2,1）得到a,b关系，再整体代值计算即可.【详解】解：•・•二次函数y=aX2-bX-1的图象经过点（2,1）∙∙.4a-2b-1=1∙∙.2a-b=12019-2a+b=2019-（2a-b）=2019-1=2018，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．三、解答题.已知二次函数的图象过点（-3,0）,（1,0），且顶点到X轴的距离等于2,求此二次函数的表达式．1【答案】y=1X2或y=-13223+X——,2—X2-X+—【分析】由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与X轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.【详解】•・•二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),，可设二次函数为y x+3x-1(Q≠0),展开得：y=ax-+2ax-3a,顶点的纵坐标为以"I"'=_4。，4。由于二次函数图象的顶点到X轴的距离2,?.∖-4a∖=2,即0=±g,1 3 1 3所以，二次函数的表达式为y=542+x-5,或y=-不单-x+^∙∙乙 乙 乙 乙【点睛】本题考查二次函数表达式的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.(3、.设二次函数的图象顶点为-2,-,与X轴的两个交点间的距离为6,求二次函数的函数式；k2J1 2 5【答案】＞—6 3 6【分析】由顶点坐标，设二次函数的顶点式：＞=〃6+2)2+5^^())，令＞=。，用韦达定理得\+%2产产2,求出片一町后可得〃值，从而得结论.【详解】(3、(1)二次函数的图象顶点为-2,7,3 3设函数为y=a(x+2)2+-(a≠θ),即y=aχ2+4ax+4«+—\o"CurrentDocument"2 2一 3抛物线与X轴的交点的横坐标即方程以2+4OX+4α+不=。的根，设为1,X2 ɪ23则Ix—x1=6,由韦达定理工+x=-4,XX=4+一1 2 1 2 122alx-xI=J(x+x)2-4xx=J--=6,得〃=一！12X12 12Xa 61 25所以二次函数为y=-7x2--x+-.6 36【点睛】本题考查求二次函数的解析式，一般方法是待定系数法，二次函数的解析式有三种形式，顶点式：y=a(X-h)2+m，两根式：y=a(X-xj(x-XJ，一般式：y=ax2+bx+c.10.已知二次函数的图象过点(-2,-1)和(-1,-1),且y的最大值是8,(1)求这个二次函数的表达式；(2)解不等式y>-1.【答案】(1)f(x)=-36[x+』]+8；(2)(-2,-1).I2,【分析】(1)先通过图像所过的点可得二次函数的对称轴，再根据最值，设出二次函数的解析式，代点即可求出答案；,、一、一—"，、 ( 3、2(2)直接解不等式-36X+-+8>-1.2,【详解】解：(1)由f(-2)=f(-1)=-1,可得该二次函数的对称轴为X=-2+(T)=-32 2又•・•f(x)的最大值是8,(3¥・，・设f(X)=a+8.X+5I2√由f(-2)=-1,即a(-2+3f+8=-1I2J解得，a=-36一/、 ( 3、2・f(X)=-36X+-+8；I2J,1 ( 3\-1，得-36/+.J(2)由f(x)>2+8>-1(3YX+—I2)1<一41 31——<X+—<—2 22解得：-2<X<-1.・•・不等式的解集为(-2,-1).【点睛】本题考查二次函数的性质及待定系数求解析式，考查二次不等式的求解，是基础题..已知二次函数y=mx2+(m-1)X+m-1的图象在X轴下方，求实数m的取值范围.1【答案】m<-3.【解析】【分析】根据题意知抛物线开口向下且与X轴无公共点，从而列式求解即可.【详解】Im<0Im<0由题意得<n<l∆<0 1(m-1)2-4m(m-1)<01m<--.3【点睛】本题主要考查了二次函数的图像特征，属于基础题..已知某二次函数的图象与X轴交于点42,0),B(4,0),且过点(1,3),(1)求此二次函数的解析式；(2)求1≤X≤b(b>1)时的最大值和最小值.【答案】(1)y=X2-6X+8；(2)答案见解析.【分析】(1)设二次函数的解析式为y=a(X-2)(X-4),将(1,3)代入即可求解.(2)根据二次函数的性质讨论即可.【详解】解：(1)设二次函数的解析式为y=Q(L2)(X-4),将点(1，3)代入得：3≡(l-2)×(l-4)α,解得：〃=1,y=(x-2)(r-4)=尢2一6尢+8,(2)∙.∙y=(x-3)一1的对称轴为：1=3,与点(1，3)关于对称轴对称的点为(5,3),若1<方<3时，丁随着X的增大而减小，则当％=1时取得最大值，为：y=l-6+8=3,当x=b时取得最小值，为：j=⅛2-6⅛+8;若3<b≤5时，当x=l时取得最大值，为：y=l-6+8=3,当％=3时取得最小值，为y=9-18+8=-1；若〃>5时，当x=b时取得最大值，为丁=拉-68+8；当％=3时取得最小值，为y=9-18+8=-1.13.已知二次函数y=χ2+bx-c的图象经过两点AL。),Q(2,10q).(1)如果α,b,C都是整数，且c<b<8],求G,b,C的值.(2)设二次函数>=%2+法—。的图象与X轴的交点为4、B,与y轴的交点为C,如果关于X的方程X2+区—c=0的两个根都是整数，求的面积.【答案】(1)。=2/=15,c=14;(2)1.【分析】(1)由点在二次函数上得出人=9〃-3,c=8q-2,根据已知条件建立不等式组，解之可得答案；(2)设m,"是方程的两个整数根，且根≤〃.由根与系数的关系可得力+孔=-8=3-9。，≡=-c=2-8a,消去。，得到方程9wi-8(m+孔)=-6,由已知可求得加，〃.得到二次函数的解析式.可求得的面积.【详解】点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y=X2+bx-C的图象上，故1+b一c=a,4+2b一C=10a解得b=9a-3,c=8a-2[8a一2<9a一3(1)由c<b<8a得I ，解得1<a<3[9a一3‹8a又a为整数，所以a=2,b=9a一3=15,C=8a一2=14(2)设m,n是方程的两个整数根，且m≤n.由根与系数的关系可得m+n=-b=3一9a，mn=-c=2一8a消去a，得9mn-8(m+n)=-6两边同时乘以9,得81mn-72(m+n)=-54，分解因式，得(9m-8)(9n-8)=10.[9m-8=1 [9m-8=-10 [9m-8=-5 [9m-8=2所以I 或I 或扁父_D或，o_c[9n—8=10[9n—8=-1 [9n—8=-2 [9n—8=51m=—3[m=1解得《=2或12m=—-9或＜或＜10m=——913n=——97n=—92n=—3又・・・m,n是整数，所以后面三组解舍去，故m=1,n=2.因此，b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2二次函数的解析式为y=X2-3X+2.所以点AB的坐标为(1,0)和(2,0)