高中数学新课标人教A版选修2-3学案1.2第4课时组合问题

1.2排列与组合第四课时组合问题一、课前准备1．课时目标(1)会处理一些复杂的组合问题；(2)能解决的排列组合综合应用题2．基础预探排列组合问题的常见策略为：（1）特殊元素____安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题______的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题______处理的策略；（6）不相邻问题____处理的策略；（7）定序问题等概率除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。二、学习引领1.处理排列组合问题的基本步骤是什么？首先判断这个问题是组合问题还是排列问题，即看取出的元素能否交换位置：若能则为组合问题，否则为排列问题；其次要注意两个基本原理的灵活应用，对问题进行合适的分类与分步，转化为多个简单的问题处理，但要注意有无重复或遗漏.2.如何解答有限制条件的组合问题？解决有限制条件的组合问题的基本方法有两种：直接法和排除法。直接法求解时应坚持特殊元素优先选取的原则，再处理其它一般元素；若正面处理问题时需要讨论的情况比较多，计算量较大，不妨从问题的反面入手利用排除法解决。一般含有“至多”、“至少”等组合问题多用此法解决，体现了正难则反的策略。3.如何处理分组分配问题？分组分配问题是一类常见的排列组合综合应用题，它的常见形式是这样的：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分组分配问题。一般有定定向分配和不定向分配两种问题。解决这个问题的关键是先对元素进行的恰当的分组，然后再分配。将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组（如将6个元素，分成3个一组、2个一组一个一组分为3组）、平均分组（如将6个元素，分成每2个一组分为3组）和部分平均分组（如将6个元素，分成4个一组、1个一组、1个一组分为3组）三种情况。其中出现平均分组和部分平均分组问题时要去掉顺序即若平均分为m组则除以。三、典例导析题型一排列、组合的简单应用例1从a,b,c,d,e这5个元素中取出4个放在4个不同的格子中,要求一个格子放一个元素,且元素b不能放在第二个格子里,问共有多少种不同的放法?思路导析：第二个格子是特殊位置，因此应该先安排，然后再处理其它位置；或将b看做特殊元素，先行处理。解:方法一：先从a,c,d,e中选一个放到第二个格子里,其余的再选3个任意排列,根据乘法原理有种不同的放法.方法二:分两类:若选b,则有种放法,若不选b,则b有3种放法,其余再任选3个排列,有种放法,共有24+72=96种.规律总结：处理排列组合问题要先观察题目的特点，找出特殊的元素或者位置，再利用分类分步计数原理将问题简化为多个小问题来解决。变式训练：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?题型二非均匀分组问题例2（1）若从10名工人中选出9人分成3个小组，各组人数分别是2，3，4，则有种分法.（2）若从10名工人中选出9人分成3个小组，各组人数分别是2，3，4，去参加不同的劳动，则其安排方法有种.思路导析：（1）为将9人分三组，且不是均分；（2）为先分组后，再分配问题。解：（1）第一步，先从10人中选出2人有种选法；第二步，再从余下的8人中选出3人，有种选法；第三步，从余下的5人中选出4人，有种选法；根据分步乘法计数原理知不同的选法共有种分法.（2）由于选出的3组人要参加不同的三种劳动，因此在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，因此安排方法有种安排方法.规律方法：本题主要研究不均匀分组和分配问题，只分成几组的问题为分组问题，分组后各组要担任不同的工作的问题为分组分配问题，此时需乘以组数的全排列.变式训练：某医院有6台不同的仪器，按照以下要求处理，各有几种分法?（1）甲科室分1台，乙科室分2台，丙科室分3台；（2)一科室分1台，一科室分2台，一科室分3台；题型三均匀分组问题例3将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案是（）ABCD思路导析：先将四名司机分4组，再分配到4辆车上；再将8名售票员分4组，再分配到4辆车上；也可以利用组合的知识直接分配。解析：方法一：首先，将四名司机分配到四辆公共汽车上，每车一名，不同的分配方法有种；其次，将8名售票员分配到4辆车上，每车2名，不同的分配方法有种.由分步计数原理可得：可能的分配方案有种.故选C.方法二：第一步：给第1辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有种；第二步：给第2辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有种；第三步：给第3辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有种；第四步：将所剩的1名司机和2名售票员分配到第4辆车，只有1种分配法；由分步计数原理得，可能的分配方案有，故选C.规律方法：均匀分组分配要注意去掉顺序，如利用将4个人分成四组后，这4组就已经排序了，此时只有去掉顺序才是分组.变式训练：将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种答案:B题型四部分均匀分组问题例4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．思路导析：先将4名大学生分为2、1、1三组，再分配到各个乡镇，其中分成1、1的两组是均匀分组，需去掉顺序。解析：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有，所以满足条件的分配方案有种.规律方法：部分均匀分组问题，要将其中均匀分组的那部分去掉顺序，然后再分配，否则会出现重复计算.变式训练：将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.四、随堂练习1.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A40种 B 60种 C100种 D120种2.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）种种种种3.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．28D．254.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种（用数字作答）.5.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）6.为了提高学生参加体育锻炼的热情，华源中学组织篮球比赛共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环比赛(在第一轮中已相遇过的两队不再进行比赛)，问共要进行多少场比赛?五、课后作业1．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的有（）A30B40D50C602.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有()种种种种3.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种4.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案:3365．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有多少种？.6.某甲A篮球队12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含1名外援），选5名队员首发上场，要求主力队员不少于4个且两名外援不同时上场，则有多少种不同的选法？参考答案:1.2排列与组合第四课时组合问题一、课前准备2．基础预探优先先选后排捆绑插空三、典例导析例1变式训练解:若甲跑第四棒,则有种不同的安排方法,若甲不跑第四棒,则从剩余的4人中选一人跑第四棒,再从除甲外的四人中选一人跑第一棒,其余的任意选排,共有种不同的排法.由加法原理得共有60+192=252种不同的安排方法.例2变式训练解：（1）共有分法．(2)在(1)中甲科室分一台，乙科室分2台，丙科室分3台的基础上，考虑到甲、乙、丙三科室的平等地位，让甲、乙、丙三科室全排列调换位置，所以共有分法数．例3变式训练答案:B解析：标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.例4变式训练答案:1080解析：6名志愿者按2，2，1，1分成四组，其分法有，然后再将分好的组进行分配，有种分配方案.四、随堂练习1.答案:B解析：不同的选派方法共有种，选B.2.答案:B解析：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案.3.答案:A解析：具有伙伴关系的元素组有－1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C+C+C+C=15,选A．4.答案:36解析：先从除甲、乙两人外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有种.5.答案:240解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有种安排方法.6.解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有场比赛，4个组共计赛4场．第二轮每组取2名，共计8名，本应赛场，由于第一轮中分在同一组的两队不再进行第二轮比赛了，故应减去4场，比赛场．综上两轮比赛总共赛4+()=84(场)．五、课后作业1．答案:C解析：分为两类，两个偶数一个奇数、三个奇数，故编号之和为奇数的结果数为CC+C=60.2.答案:C解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛，符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有－4＝16(种).也可以分与C岛连接的是一座桥、二座桥、三座桥讨论求解.3.答案:A解析：分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，选A．4.答案:336