2020-2021学年山东省青岛市高二（上）10月月考数学试卷 (二)人教A版

2020-2021学年山东省青岛市高二(上)10月月考数学试卷

一、选择题

1.若直线％、=2%+1与/2：(3m+1)万一2y+5=0平行，则m=()

A.lB.-lC.2D.-2

2.过4(2,6),8(1,-6)两点的直线的斜率为()

AT2B.-行4D.12

,3gD.亚亘

3.已知△ABC三个顶点的坐标分别为4(2,6),5(1,-6),C(5,2),M为BC的中点，则

中线4M所在直线的方程为()——►—

7.已知P,A,B,C四点满足04=(1,1,-3),PB=(2,—L1)，PC=(3Am),且P,

A.IOx4-y-26=0B.8x+y-22=0C.8x4-y-26=0D.lOx—y-34=0

A,B,C四点共面，则m=()

—>T—»—♦T——

4.在长方体4BCD中，设4B=a,AD=b,AAj=c,且[a]=2,贝lj

(a+h)-(a-c)=()

8,已知在四面体48CD中，AB=CD=V10,AC=BD=V13,AD=BC=M为

A.lB.2C.3D.4棱48的中点，DN=^DC,连接MN,则点力到MN所在直线的距离的平方为()

5.直四棱柱ABC。-ABiQDi的各棱长均为2,且/BAD=泉则|屁J=()

A.2V3B.V10C.4D.3V3

6.如图，在正方体ABCD-LBiGDt中，AB=4,若点P在侧面BCGB](不含边界)

内运动，AP±BDV且点P到底面4BCD的距离为3,则异面直线BD与4P所成角的余

弦值是()

二、多选题

以下关于向量的说法中正确的是(

A.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

已知直线I的方向向量m=(1,-2,3),平面a的法向量九=(t,£+1,-1),若Z〃a,则

B.若a=b,则|a|=\b\t=.

TTTTTT

C.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

已知直线孑+/=1与工轴和y轴分别交于4,B两点，。为坐标原点，则A40B的面积

26

-)>—♦—>—>

D.右a=-b且b=-c,则Q=c为.

设4(1,1),8(3,5),C(5,3),0(0,-7),£(2,-3),F(8,-6),若直线，分别与△ABC及

在四面体488中，E,尸分别是BC,8。上的点，且詈=胃=2,则办一公+△DEF各恰有一个交点，则直线/的斜率的最小值为.

后=()

如图，已知四棱柱A8C0-4当0d的底面41与6。1为平行四边形，E为棱48的中

54T8T5T

A.-EFB.-EFC-CDD.-CD点，AF=\AD,AG=2GAlf4cl与平面EFG交于点M,贝吟言=.

2393

已知直线Z与函数y=log2》的图象有两个交点P(a，b),Q(c,d),且PQ的中点在％轴上,

则下列说法正确的是()

A」的斜率大于0B.ac=1

Ca+c=l口1在％轴的截距大于1

在三棱锥P-ABC中，以下说法正确的有()

A.若2励=旋+筋，则诵=3访

四、解答题

B.若以品=0,PAAB=0,则曲•五=0

在①它的倾斜角比直线y=V3x-1的倾斜角小寺，②与直线％+y-1=0垂直，

若分别为的中点，则

C.P4=PB=PC=2,AB=AC=BC=2VLM,NP4BC③在y轴上的截距为-1,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问

题：已知直线2过点(2,1),且,求直线[的方程.

\MN\=2

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

D.若丁为△ABC的重心，则2而+於=豳+无

如图，在多面体力8。-&8停1中，平面441%81平面公%G，四边形"拉潭是菱形,

三、填空题

AAJ[CC],AAT=2CCr=4,£AA1B1=.C1A1=C1B1=V5.

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c,

(1)若点G是4B1的中点,证明:CG〃平面4181c1；(1)证明：CDLB\D；

(2)求点G到平面4BC的距离.(2)若BC=V5,求二面角B-QD-BI的余弦值.

如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为0,a，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱

如图，三棱锥P-4BC中的三条棱4P,AB,4c两两互相垂直，^PBA=7O.点D满足

48。-4tBic的三条侧棱均为圆柱的母线，且4B=AC=等。点P在轴0。1上运

PB=4PD.

动.

(1)证明：PB1平面4CD：

(1)证明：不论P在何处，总有BCJ.P41；

(2)若4P=4C,求异面直线CD与48所成角的余弦值.

(2)当点P为。。1的中点时，求PB】与平面41PB所成角的正弦值.

如图，在三棱柱4BC-4B1*中，B]%±平面441%C,D是4公的中点，A4CD是边

长为1的等边三角形.

如图，已知菱形4BCD的边长为1JB4D巧，将菱形4BCD沿着4D翻折到4EFD的位

置,连接CF,BE,CE.

E

C

(1)证明：BE〃平面FCD.

(2)在翻折的过程中，能否使得BE与平面ECD所成的角的正弦值为誓？若能，求出

二面角B-4D-E的大小；若不能，请说明理由.

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【解答】

解：由中点坐标公式得M(3,-2),

参考答案与试题解析

所以必M=-8，

所以AM的方程为y+2=—8(%-3),

2020-2021学年山东省青岛市高二(上)10月月考数学试卷即8x+y-22=0.

故选

一、选择题B.

4.

1.

【答案】【答案】

AD

【考点】【考点】

两条直线平行与倾斜角、斜率的关系空间向量的数量积运算

【解析】【解析】

无无

【解答】【解答】

解：根据题意得，甯=2,、—>>*—>—>—>

解：在长方体中，a'b=b-c=c-a=0,

解得771=1.

所以94-b)-(a-c)

故选4

2.

=a2+a-b—a-c—b-c=22+0—0—0=4.

【答案】

故选D.

D

5.

【考点】

斜率的计算公式【答案】

【解析】C

【考点】

【解答】空间向量的数乘运算

向量的模

解：斜率女=纪为=12.

2—1

【解析】

故选。.

无

3.【解答】

【答案】—>—>—»­>

解：

BACi=AB+AO+441，

【考点】

又有=且各棱长均为2,

直线的一般式方程

直线的两点式方程—♦—».—♦—»—»—♦

所以A8A0=2x2x5=2,AAlAB=0,AA1-AD=0,

中点坐标公式

22

所以。22

【解析】A=AB+AD-^-AA14-2AB-AD+2AAt-AB+2AAX-AD

无=4+44-4+4=16,

—>C

从而|=4.【考点】

故选c.共线向量与共面向量

6.【解析】

【答案】

【解答】

D

【考点】解：因为P,A,B,C四点共面，所以的，PB,无共面,

用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】

所以PC=xPA+yPB

【解答】=-3)+y(2,-l,l)=(3,4,m),

解：以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,x+2y=3,

x-y=4,

!-3x+y=m,

解得"拳y=-m=-y.

故选C.

8.

【答案】

B

【考点】

则4(4,0,0),8(4,4,0),。(0,0,0),0式0,0,4),空间向量的夹角与距离求解公式

由条件设P(%,4,3),0<x<4,点、线、面间的距离计算

-*~»-»【解析】

则AP=(%-4,4,3),BDi=(-4,-4,4),BD=(-4,-4,0).

无

因为

AP180],【解答】

—♦—>解：如图，

所以AP-BDX=(%-4,4,3)•(—4,-4,4)=0,

解得工=3,

所以cos〈访,前〉=呼竺

\BD\\AP\

_(-4,-4,0)X(-l,4,3)_3g

一WlS一--26-,

所以所求余弦值为啜.

故选D.

将四面体4BC0补成长方体4ECF-HBGD,建立空间直角坐标系H-xyz,

7.

由已知AB=CD=再，AC=BD=V13,AD=BC=V5,

【答案】可得4H=1,BH=3,DH=2,

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所以△8EF〜△8C0,所以

所以A（O,O,1）,M仔,0,3,N（1竭），

T2T

EF=^CDt

则疝=（一；,2,一），=

从而外-M：AD=FF+（^AD-AC^=EF+CD=EF+|EF=jEF：

取；=易=（*词,

或"-AC+A0=EF+CD=^CD+CD=^CD.

T诵6/1

3而二加卜/-4),故选40.

【答案】

A,B,D

所以”a-u=^,

【考点】

所以点A到MN所在直线的距离的平方为:2-0@2=4（急）2=鲁对数函数的图象与性质

函数的零点

故选B.

中点坐标公式

二、多选题

【答案】【解析】

B,D

【考点】【解答】

命题的真假判断与应用解：如图，

向量的共线定理

单位向量

【解析】

【解答】

解：对于4符合条件的终点围成的图形是一个球面;

—»—»根据对数函数的图象可知4。正确；

对于C,如果b=0,结论不成立；B,D显然正确.

又b=loga,d=logc,且PQ的中点在#轴上,

故选80.22

【答案】所以b+d=O,S|Jlog2a+log2c=0,

A,D所以ac=l,所以B正确；

【考点】因为a+cN2底=2,所以C错误.

相似三角形的性质故选480.

向量加减混合运算及其几何意义【答案】

【解析】B,D

【考点】

平面向量数量积的运算

【解答】

向量加减混合运算及其几何意义

解：在ABCD中,

数量积判断两个平面向量的垂直关系

因为这=空=2,

ECFD

向量的模【解答】

【解析】解：因为”/a,所以前_LTT,

所以。+

【解答】£—21)-3=0,

解得亡=-5.

解：对于4因为疝所以晶=2访，故4错误;故答案为：—5.

【答案】

对于B,因为防元■=(),PAAB=O,6

【考点】

所以P414C,PA1AB,

三角形的面积公式

所以P4J■平面4BC,所以P4_LBC,PABC=0,故B正确；直线的截距式方程

—>—♦-»【解析】

对于C,因为MN=PN-PM

1TT1—11TT【解答】

=+PC)-”4=；(PB+PC-P4),

解：当工=0时，y=6；当y=0时，x=2,

且PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=2&,所以|0*=2,\OB\=6,

所以PA,PB,PC两两垂直，

所以S“OB=；X|O川x|OB|=6.

—>--♦T―>

故|MN|=^\PB+PC-PA\

故答案为：6.

【答案】

=；J/^2+而2+无2=遍,故C错误；

-3

对于D,因为7为A4BC的重心，【考点】

斜率的计算公式

所以法+耘+元=6,

【解析】

画出两个三角形的图形可知CF连线的斜率上=艺=-3,是最小值.所以《斜率的最

所以ZPr+TTl+TB+TC=2PT,5—8

小值为一3.

2PT+TB+TC=2PT-TA,【解答】

—»—♦—»—♦—>—»解：画出两个三角形的图形，如图所示，

即(PT+TB)+(PT+TC)=2PT+AT,

所以2访+於=赢+而，故D正确.

故选BD.

三、填空题

【答案】

-5

【考点】

数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】

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0

【解答】

—>—>

解：设4M=/L4Ci，(0<A<l),

由已知4cl=AB+AD+AAr=2AE+3AF+；AG.

—»—♦T12T

所以4M=2AAE+32.AF+—AG.

2

可知CF连线的斜率1=言=-3,是最小值.

因为M,E,F,G四点共面.

所以，斜率的最小值为-

3.所以22+32+”=1,

故答案为：—3.2

【答案】

解得;l=看.

2

13故答案为：套.

【考点】

共线向量与共面向量四、解答题

空间向量的加减法【答案】

解：方案一：选①.

【解析】

因为直线y=V5x-1的斜率为6,所以直线y=V3x-1的倾斜角为*

如图，设4薪=4一品/(0<4V1),由已知A'=向疝疝i=2^1+3旗+

所以直线I的倾斜角为卜春=%

|京.所以AG=2无6+3高1t+:北.因为M,E,F,G四点共面.所以22+3/1+

所以直线1的斜率k=tan-=1,

7=1,解得；l=g4

所以直线，的方程为>一1=工-2,即x-y-l=0.

方案二：选②.

设直线/的斜率为匕

因为直线(与直线x+y-1=0垂直，所以小(-1)=一1,所以k=l.

所以直线/的方程为y-l=x-2,即％—y—1=0.

方案三：选③.

设直线的I斜率A,则直线Z的方程为y-l=Mx-2).

令％=0,得y=—2k+l,

所以l—2k=—1,解得k=1.所以401平面4B1C1.

所以直线[的方程为y-l=x-2,即％-y-1=0.因为C14=GB1=e,

【考点】所以G0J.4181，

直线的斜截式方程即。6，A1B1,。4两两垂直.

直线的点斜式方程TT

以。为原点，oq,OBt,。4的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系

两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

0-xyz,

直线的倾斜角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：方案一：选①.

因为直线y=百工一1的斜率为百，所以直线y=V3x-1的倾斜角为紧

所以直线1的倾斜角为？一套=%

所以直线]的斜率k=tan-=1.

4所以40=Bi0=2,AO=2V3,.0=〃6-必。2=1,

所以直线，的方程为y-l=x-2,即x-y-l=0.所以0(0,0,0),4式0,—2,0),4(0,0,26),8(0,4,275),6(1,0,0).

方案二：选②.

因为C；C=\A^A=1X(0,2,273)=(0,tV3),

设直线I的斜率为k,

因为直线，与直线x+y-1=0垂直，所以々(-1)=-1,所以k=l.所以C(L1,®

所以直线I的方程为y—l=%—2,即x-y—l=0.设平面CAB的法向量为蓝=(x,y,z),

方案三：选③.

设直线的，斜率匕则直线，的方程为y-l=k(x-2).—>—>

又因为CA=(-1,-1,V3),CB=(-1,3,75),

令元=0,得y=-2k+l,

所以l-2k=-1,解得k=l.n-CA=-x-y+\[3z=0，

所以直线，的方程为y-l=x-2,即％-y-l=0.T-「