数学人教A版选修2-3学案第一章1.2.2组合

1.2.2组合学习目标重点、难点1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合．2．能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．3．能合理进行分类、分步，综合应用排列组合知识解决实际问题.重点：1.掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．2．利用组合知识解决实际问题．．2．排列组合问题的解题策略.1．组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____．预习交流1排列与组合有何联系与区别？2．组合数、组合数公式(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的______，用符号____表示．(2)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝____＝______________，Ceq\o\al(m,n)＝eq\o\al(0,n)＝1.(m，n∈N*，且m≤n)预习交流2(1)已知平面内A，B，C，D，E五个点中任何3个点都不在一条直线上，这五个点确定的三角形个数为()．A．Aeq\o\al(3,5) B．Aeq\o\al(2,5) C．Ceq\o\al(3,5) D．Ceq\o\al(3,8)(2)下列计算结果为28的是()．A．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(2,7) C．Aeq\o\al(2,8) D．Ceq\o\al(2,8)3．组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝______.性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝________.预习交流3(1)Ceq\o\al(18,20)＝__________；(2)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝__________.(可用组合数回答)答案：1．组合预习交流1：提示：联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．2．(1)组合数Ceq\o\al(m,n)(2)eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)eq\f(n！,m！n－m！)预习交流2：(1)提示：C(2)提示：D3．Ceq\o\al(n－m,n)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)预习交流3：提示：(1)Ceq\o\al(2,20)；(2)Ceq\o\al(3,9)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、组合概念的理解与应用判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．二、与组合数有关的计算1．计算：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(8,8)；(2)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,7).思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．2．证明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．1．计算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝__________.2．计算：Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(10,12)＝__________.3．若Ceq\o\al(x,15)＝Ceq\o\al(2x－6,15)，则x＝__________.(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)主要应用于简化运算．性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．三、简单组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．1．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有__________种(用数字作答)．2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．四、有限制条件的组合问题1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．A．30种B．35种C．42种D．48种思路分析：两类选修课选3门，依据A类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．2．2012年“嘉庚”“敬贤”杯海峡两岸龙舟赛于2012年6月9日至11日在厦门市集美区举行．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有()．A．4种B．36种C．40种D．92种思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．1．某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()．A．14B．24C．28D2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()．A．360B．520C．600D(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．答案：活动与探究1：解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有Ceq\o\al(4,5)＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有Aeq\o\al(2,5)＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有Ceq\o\al(4,9)＝126种．迁移与应用：解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有Ceq\o\al(3,6)＝20种．2．解：单循环赛，指双方只赛一场，因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国；中国——朝鲜；日本——韩国；日本——朝鲜；韩国——朝鲜．活动与探究2：1.解：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(8,8)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＋1＝149.(2)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1)＋200＝5150.(3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.2．证明：左边＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n·n－1！,m－1！n－m！)＝neq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq\o\al(m－1,n－1)＝右边，∴mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).迁移与应用：解析：∵Ceq\o\al(2,2)＝Ceq\o\al(3,3)＝1，∴原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝Ceq\o\al(3,11)＝eq\f(11×10×9,3×2)＝165.2．81解析：Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(10,12)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,12)＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(12×11,2×1)＝15＋66＝81.3．6或7解析：由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝15，∴x＝6或x＝7.活动与探究3：解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有Ceq\o\al(2,6)种方法；第2类，选出的2名是女教师有Ceq\o\al(2,4)种方法，即Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(种)．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有选法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种)．迁移与应用：解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有Ceq\o\al(3,7)种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有Ceq\o\al(3,4)种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)＝140种不同的安排方案．2．21解析：分两类：一类是2个白球有Ceq\o\al(2,6)＝15种取法，另一类是2个黑球有Ceq\o\al(2,4)＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．活动与探究4：解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝30种选法．2．C解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,4)＝4种选法．第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,4))＝2(3×4＋6)＝36种选法．∴共有40种选法．迁移与应用：解析：(间接法)6人中选派4人的组合数为Ceq\o\al(4,6)，其中都选男生的组合数为Ceq\o\al(4,4)，所以至少有1名女生的选派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14种．2．C解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有Ceq\o\al(2,5)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10(24－12)＝120种选法．∴共有480＋120＝600种选法．1．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，则n等于()．A．8 B．5或6 C．3或4 D．2．(Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)的值为()．A．6 B．101 C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,101)3．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为()．A．Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,4) C．Ceq\o\al(5,10) D．Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(2,4)4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．5．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2