称为曲线拟合的最小二乘法课件

曲线拟合曲线拟合1主要内容背景及应用1在故障诊断中的应用3基本原理及实现方法2总结及展望4参考文献5主要内容背景及应用1在故障21、背景及应用理论上，可以根据插值原则构造n次多项式Pn(x),使其正好通过实测点。实际情况，为尽量反应真实情况，需要数目很多的采样点。这样，会造成插值多项式次数很高，增大计算量，影响函数逼近程度。并且差值多项式需要经过每一个测试点，这样会保留测量误差，影响函数逼近精度。在许多领域中,常常需要根据实际测试所得到的一系列数据,求出变量间的函数关系。因此,我们一般根据已知实际测试样点,找出被测试量之间的函数关系,使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系,这就是曲线拟合。1、背景及应用实际情况，为尽量反应真实情况，需要数目很多的采31、背景及应用由于通过曲线拟合方法能将实际试验测试数据转化成合乎误差要求的近似曲线、函数解析式，它被广泛应用于图像处理、逆向工程、计算机辅助设计，以及测试数据的处理分析等领域。1、背景及应用由于通过曲线拟合方法能将实际试验测试数42、基本原理及实现方法2.1曲线拟合的定义曲线拟合，是指求取一个函数解析式y=f(x,c)，使其通过或者近似通过有限的试验数据对(xi,yi)(i=1,2,…,n)，从而实现用拟合曲线方程来分析变量之间的关系。其中，c=(c0,c1,…,cm),为曲线方程的待定参数。2、基本原理及实现方法2.1曲线拟合的定义曲线拟合，是指求52、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法实现曲线拟合的方法有很多，在实际应用中需要针对不同的问题采取不同的方法。有理论模型的曲线拟合无理论模型的曲线拟合有一定的背景资料、规律性强，只需要找出与背景资料相适应的曲线方程。最常用的是最小二乘法。曲线拟合问题规律性差、理论模型难以建立或不需要理论模型。这类问题一般采用几何方法或者神经网络法实现曲线拟合。2、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法实现曲线62、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法已知试验数据点（xi.yi）(i=1,2,…,n),假设实验数据点可以用线性模型拟合，解析式为：

y=β0+β1x+ε(1)其中，β0，β1是待求参数，误差ε服从N(1,σ2)

将n个实验点分别带入表达式（1）得到:yi=β0+β1xi+εi

根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：

2、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法已72、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法将试验点数据点入之后，求目标函数的最值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：求解方程组，就能唯一地确定待求参数β0，β1的值，从而实现了曲线的最小二乘拟合。2、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法将82、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法对于非线性模型，有的可以通过适当的数学变换将其线性化，然后采用最小二乘法进行拟合。常用的可以线性化的模型如下表所示：2、基本原理及实现方法2.2曲线拟合的方法——最小二乘法对9实际问题中，通过一组观测数据，找出描述这些数据的规律，即构造一条拟合曲线，反映所给数据点总的趋势，以消除所给数据的局部误差。问题特点（xi,yi）,i=1,2,…,N,N很大yi本身为测量值，不准确拟合函数f(x)没有必要完全通过，所给的空间点，只需要ei=f(xi)-yi（残差）总体上尽可能的小实际问题中，通过一组观测数据，找出描述这些数据的规律，即构造10构造拟合曲线的准则基于准则3来选取拟合曲线的方法，称为曲线拟合的最小二乘法构造拟合曲线的准则基于准则3来选取拟合曲线的方法，称为曲线拟11一.直线拟合一.直线拟合12求解二元一次方程，得到取定拟合直线的参数a,b求解二元一次方程，得到取定拟合直线的参数a,b13实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的14纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近纤维强度随拉伸并且24个点大致分15解得：a=0.1505,b=0.8587解得：a=0.1505,b=0.858716二.多项式拟合若所给的数据点用直线拟合不合适，可以考虑用多项式拟拟合二.多项式拟合若所给的数据点用直线拟合不合适，可以考虑用多17称为曲线拟合的最小二乘法课件18因此有，正则方程组上方程组解是否存在唯一？因此有，正则方程组上方程组解是否存在唯一？19定理7正则方程组有唯一解定理8利用正则方程组求解曲线拟合问题是一个古老的方法，在实际计算中，当m较大时，正则方程组往往是病态的，其求解方法有待于进一步改进证明：即对应的齐次方程组只有零解。定理7正则方程组有唯一解定理8利用正则方程组求解曲线拟合问20三.观察数据的修匀提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果，实际计算时常用不同的低次多项式去拟合不同的分段----分段拟合设已给一批实测数据(xi,yi)(i=1,2,…,N)，由于测量方法和实验环境的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差，希望根据数据的分布的总的趋势去剔除观察数据中的偶然误差----数据修匀(数据平滑)问题三.观察数据的修匀提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果，21ti-2-1012yiy-2y-1y0y1y2ti-2-1012yiy-2y-1y0y1y222称为曲线拟合的最小二乘法课件23称为曲线拟合的最小二乘法课件24注：三次样条与分段Her