2022年《点到平面的距离》基础练习

点到平面的距离1•向量n=(2,0,1)为平面a的法向量，点A(—1,2,1)在a内，那么P(l,2—2)到a的距离为()C.2护TOC\o"1-5"\h\z2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点，那么O到平面ABC1D1的距离为()3•长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱A1A=5,AB=12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5D.84•正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,那么平面AB1D1与平面BDC］的距离为()5.等腰RtAABC斜边BC上的高AD=1，以AD为折痕将AABD与AACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：BD丄AC；ZBAC=60°；异面直线AB与CD之间的距离为罗；点D到平面ABC的距离为W3；直线AC与平面ABD所成的角为45°.其中正确结论的序号是.6•三棱柱ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点.求证：平面AB"丄平面ABB]A]；求点C到平面AB1D的距离.7.如下图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4,BC=2,CC]=3,BE=1,AEC、F为平行四边形.⑴求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离.8在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.证明：AB丄平面VAD；求平面VAD与平面VDB所成的二面角的余弦值.参考答案1.［答案］A［参考答案1.［答案］A［解析］—>・・•PA=(—2,0,3),・••点P到平面a的距离为d=IPA・nl1—4+31,..'5mr=\；：5=于2.—>解析］以DA、—>解析］以DA、50,1,1),c1o=250,1,1),c1o=2c^ai=(11、2，—2，0,平面ABC1D1的法向量DA1=(1,0,1),点(乙也丿—>—>1O到平面ABC1D1的距离d=QAJ1。"=2=害.IDA1I対[解析]解法一：・B]C]〃BC,且B]C]平面A1BCD1,BCu平面A^CD^・・・B]C]〃平面A1BCD1.从而点B]到平面A1BCD1的距离即为所求.过点Bi作BE丄A]B于E点.•:BC丄平面A]ABB],且B1Eu平面A^ABB1,•BC丄B]E.又BC^A1B=B,AB1E丄平面A1BCD1,在RtAA]B]B中，ABa•BB5x1260RE=11LB1EAB「.J5I+I丟13，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为鈴.

—>—>—>解法二：以D为原点，DA、DC、DD]的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，那么C(0,12,0),D/0,0,5),设B(x,12,0),B1(x,12,5)(好0),设平面A1BCD1的法向量n=(a,b,c),—>—>由n丄BC,n丄CD]得—>nBC=(a,b,c)・(—x,O,O)=—ax=O,・：a=O,—>n・CD]=(a,b,c)・(0,—12,5)=—12b+5c=0,5F***b=T2C,^可取n=(0,5,12),B1B=(0,0,—5),・・・B］到平面・・・B］到平面A1BCD1的距离d=IB]B・nlIni601T［答案］D［解析］以A为原点，AB、AD、AA］分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,那么B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1)．设平面AB"］的法向量为n=(x,y,z),那么'n・那么'n・AB]=O,—>n・AD]=O,[x+z=O,、y+z=O.令z=—1,那么n=(1,1,—1),—>—>显然nBD=O,“•BC]=O,:.n也是平面BDC]的法向量,・•・平面AB]D]〃平面BDC],—>—>—>—>.••其距离为d=^n~=寻［答案］①②③④⑤［解析］VADXBD,AD丄CD,平面ABD丄平面ACD,:.ZBDC=90°,:.BD±平面ACD,^BD±AC,^①正确；又知AD=BD=CD=1,^^ABC为正三角形，ZBAC=60°,・・・②正确；・「mBC边长为护，.・・估冲=斗，由匕」"=VD_ABC得3x(2xlxl)xl=3x#xh,.・.h=¥，故④正确；TCD丄平面ABD,・・・ZCAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知ZCAD=45°,故⑤正确；以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知—>—>—>A(0,0,l)，B(l,0,0)，C(0,l,0)，・AB=(l,0，－l)，AC=(0,l，－l)，DC=(0,l,0)，TOC\o"1-5"\h\z—>—>设n=(x，y，z)，由nAB=0，nDC=0得x_z=0,y=0，令z=1得n=(1,0,1),—>・••异面直线AB与DC之间的距离d==An^=#，故③正确.—>—>—>—>—>［解析］(1)证明：如下图，取AB1中点M,那么DM=DC+CA+AM,又DM—>—>—>=DC1＋C1B1＋B1M.2DM=CA＋C1B1=CA＋CB..—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>2DM・AA1=(CA+CB)・AA1=0,2DM・AB=(CA+CB)・(CB—CA)=ICB|2-ICAI2=0，DM丄AA］,DM丄AB.・DM丄平面ABB/］.又又EA丄DV,^ZAEB是所求二面角的平面角.—>—>•.•DM平面AB",.：平面AB1D丄平面ABB1A1.(2)解：・・・A]B丄DM,A]B丄AB].・・・A]B丄平面AB1D.—>・・・A]B是平面AB1D的一个法向量.・••点C到平面ABD的距离为———————A]A+ABI2a\ACA1BIIAC・d=1—=——IA1BI[解析](1)建立如下图的空间直角坐标系，那么D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),q(0,4,3)，设F(0,0,z)・•・•四边形AEC1F为平行四边形，————・••由AF=EC\得，(一2,0,z)=(-2,0,2),・・・z=2,・・F(0,0,2)・——•*.BF=(—2,—4,2).——于是IBFI=2、J6.即卩BF的长为2、J6.⑵设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),

<右AE=0,—>AF=0,.J0xx+4xy+1=0,<右AE=0,—>AF=0,.J0xx+4xy+1=0,|—2xx+0xy+2=0.4y+1=0,—2x+2=0,x=1，1y=_4・—>—>又CC1=(0,0,3),设Cq与nx的夹角为a,—>那E么cosa=CC]=133~'ICCJ.lnJ3x\/1+1^+1.C到平面AEC1F的距离为d=lcC]l・cosa=3x埠^琴3.8.[解析](1)以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系.不妨设A(1,0,0),那么B(1,1,0),V(2,0,f),ab=(o,1,o),V4=(；,0,—>—>由AB・VA=0,得AB丄VA.又AB丄AD，且ADAVA=A,:.AB丄平面VAD.⑵设E为