反证法应用案巩固提升

[A基础达标]1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至少有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°解析：选B.“至少有一个”即“全部中最少有一个”，“至少有一个不大于60°”的反面是“全部都大于60°”.2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.3.设x>0，则方程x＋eq\f(1,x)＝2sinx的根的情况是（）A.有实根B.无实根C.恰有一实根 D.无法确定解析：选>0时，x＋eq\f(1,x)≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x＋eq\f(1,x)＝2sinx无实根.4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数（）A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙 D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为Ｗ.解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7.下列命题适合用反证法证明的是（填序号）.①已知函数f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a＞1），证明：方程f（x）＝0没有负实数根；②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：eq\f(1＋x,y)和eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2；③关于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.答案：①②③④8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③9.已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.10.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，所以SO⊥平面SAB，所以平面SAB∥底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.[B能力提升]11.若下列关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0（a为常数），x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞）C.（－2，0）\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[0，＋∞）解析：选B.假设三个方程都没有实数根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a2＋16a－12＜0，,（a－1）2－4a2＜0，,4a2＋8a＜0，))解得－eq\f(3,2)＜a＜－1，故三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤－eq\f(3,2)或a≥－1.12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）人人人 人解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，则可知4位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除C，D.假设满足条件的学生有3位，用a，b，c表示“优秀”“合格”“不合格”，用“（语，数）”来表示某学生的成绩，则满足题意的3位学生的成绩为（a，c），（c，a），（b，b），所以最多有3人.13.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）＝0，且0＜x＜c时f（x）＞0.（1）证明：eq\f(1,a)是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明：eq\f(1,a)＞c.证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）＝0有两个不等实根x1，x2.因为f（c）＝0，所以x1＝c是f（x）＝0的一个根，又因为x1x2＝eq\f(c,a).所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f（x）＝0的另一个根，即eq\f(1,a)是函数f（x）的一个零点.（2）由第一问知eq\f(1,a)≠c，故假设eq\f(1,a)＜c，易知eq\f(1,a)＞0，由题知当0＜x＜c时，f（x）＞0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＞0与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝0矛盾，所以eq\f(1,a)＞c.14.（选做题）设{an}是公比为q的等比数列.（1）推导{an}的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列.解：（1）设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②由①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，所以Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，综上所述，Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))（2）证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）