2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：2 . 3 数学归纳法

2.3数学归纳法

内容标准学科素养

提升数学运算

1.了解数学归纳法的原理；

增强逻辑推理

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

拓深直观想象

01谣前自主预习@------------------------------------------------------掌握基本知识.注重基础训练

授课提示：对应学生用书第44页

I基础认识I

知识点

预习教材P92-95,思考并完成以下问题

1.对于一个与正整数有关的等式"（“一1）（〃-2）…50）=0.试验证当〃=1,n—2,•••,

〃=50时等式成立吗？

提示：成立.

2.能否通过以上等式归纳出当”=51时等式也成立？为什么？

提示：不能，上面的等式只对"取1到50的正整数成立.

知识梳理（1）数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数"有关的命题,可按下列步骤进行：

①（归纳奠基）证明当〃取第一个值”o（〃oWN*）时命题成立；

②（归纳递推）假设当〃=k（k，〃o,ACN"）时命题成立，证明当u=k+l时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数”都成立.这种证明方

法叫做数学归纳法.

（2）数学归纳法的框图表示

验证〃=如时若"=鼠左二小）时命题成立,

命题成立证明时命题也成立

归纳奠基归纳递推

s---------------7----------------

命题对从小开始所有的正整数n都成立

思考：1.数学归纳法中两个步骤的作用及关系是怎样的？

提示：步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这

两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步躲②，则无法判断〃=%伏＞〃0）时命题是否成立；

如果只有步躲②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步躲②就没有意义了.

2.试体会数学归纳法与归纳推理的区别与联系.

提示：区别：归纳推理是一种推理方法，作用是提出猜想，但是不能确定猜想是否正确：

数学归纳法是一种演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的证明过程.

联系：与正整数有关的命题，一般需要先由归纳推理得出猜想，再用数学归纳法证明猜

想是正确的；用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且步骤(2)中必须用到归纳假设.

［自我检测］

1一户+2

1.用数学归纳法证明“1+〃+〃2+…+於计1=1--(0^1)”.在验证〃=1时，左端

1—a

计算所得项为()

A.1+aB.1+a+a2

C.1+«+a2+a3D.1+a+/+“3+/

1一4"+2

解析：等式“1+“+/+—+。2，，+1=-^］(。#1)”左端和式中。的次数由0次依次递

增.当〃=后时，最高次数为Qk+1)次，用数学归纳法证明，在脸证”=1时，左端的计算所

得项为l+a+^+a3.

答案：C

2.用数学归纳法证明1+2+2?+…+2"r=2"-l(〃GN*)的过程如下：

(1)当”=1时，左边=1,右边=21一1=1,等式成立.

(2)假设当〃=MkGN*)时等式成立,即1+2+2?+…+2-|=2*—1,则当〃=hH时，i

1—2t+l

+2+22+…+2-1+2*=下一1=2内|-1.所以当”=4+1时，等式也成立.由此可知对于任

何“GN’,等式都成立.

上述证明，错误是.

解析：本题中第二步假设〃=k时等式成立，证明〃=4+1成立时，应用了等比数列的求

和公式，而未用假设条件，这与数学归纳的要求不符.

答案：未用归纳假设

02踝堂合作探究@------------------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第44页

探究一用数学归纳法证明等式

［例1］用数学归纳法证明：1X4+2X7+3X102-----〃(3"+1)=〃(〃+1)2(其中“GN").

［证明］⑴当”=1时，左边=1义4=4,右边=1X22=4,左边=右边，等式成立.

(2)假设当〃=&(kGN*)时等式成立，即1X4+2X7+3X10H---H(3&+1)=%伏+1产

那么当n=k+l时,1X4+2X7+3X++…+-34+1)+(Z+1)［3也+1)+1］="&+1)2+

(k+l)[3(k+l)+l]=(k+l)(F+4k+4)=(%+l)K%+l)+l]2,即当n=k+\时等式也成立.

根据(1)和(2),可知等式对任何〃GN*都成立.

方法技巧用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清"取第一个值“°时等式两端项的情况;

二是弄清从"=%到〃=%+1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明〃=4+1时结

论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝"=A+1证明目标的表达式变形.

跟踪探究L求证：T+2+…+壮7与=*+出+…+如GN)

证明：(1)当”=1时，左边=1—3=:,

右边=]+]=/,左边=右边.

(2)假设当a=k(kNl,kGN*)时等式成立，

即1一2+Q—4+…+日一元=申+用+…+9，

_1,1,1,1

~k+2k+32Z+12(k+l)，

即当”=A+1时，等式也成立.

综合(1),(2)可知，对一切“GN*,等式成立.

探究二用数学归纳法证明不等式

1115

求

例

证+>K22

21+2石b

〃〃£N*).

+1

111157

------

34566

0-

故左边〉右边，不等式成立.

(2)假设当〃=火仗》2,kGN*)时，命题成立,

11±5

即+>-

J%+2弘6

K+1

则当n=k+\时，

1।1,±,

伏+1)+1(k+1)+23%十3A+13k+23伙+1)

—&+1+k+2++3k+(34+1+34+2+3*+3&+1)>6

13A+23k+3k+\f

法一：（分析法）

5

-

6

即3A+1+3A+2+3&+3-

只需证(3A+2)(3Z+3)+(3k+l)(3k+3)+(3k+l)(3k+2)-3(3k+l)(3k+2)20,

只需证(9F+15&+6)+(9F+12&+3)+(9F+9X+2)—(27必+27A+6))0,

只需证9k+520,显然成立.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

法二：(放缩法)

(*)式>(3X——看)+|4

所以当n=k+1时，不等式也成立.

由(1)(2)可知，原不等式对一切〃22,均成立.

延伸探究把本例改为求证士+士+士+…士>*〃6").

证明：(1)当”=1时，左边=3>号，不等式成立.

(2)假设当"=k(k2l,AGN*)时，不等式成立，

即用'+定+申+"TH>24,

则当〃=%+i时，出+士+…+1+Jn+壮？

攵十2%十3Zk2Z十12Z+2

-L-L.-L-+...+±+-l-->—^>H_i__!------L

=k+]+k+2+k+32r2k+\+2k+2k+\24十+2A+1十+2氏+2k+1'

2k+l2k+2k+1

2(k+1)+(2k+1)—2(2k+1)

=2(A+1)(2&+1)

=——1——>0

2伏+1)(2%+1)'

,麟+lk+2k+32r2k+l2k+2k+124十2k+l2A+2k+124'

・,•当”=々+1时，不等式成立.

由(1)(2)知对于任意正整数外不等式成立.

方法技巧用数学归纳法证明不等式的四个关键

(1)验证第一个”的值时，要注意"0不一定为1,若”>根(机为正整数)，则”0=m+1.

(2)证明不等式的第二步中，从〃=%到”=女+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不

应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.

(3)用数学归纳法证明与〃有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按

要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取

前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个〃值开始都成立的结论,

常用数学归纳法证明.

(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由"=%时成立得〃=%+1时成立，主要方法有比较

法、分析法、综合法、放缩法等.

跟踪探究2.用数学归纳法证明：dK<〃+l(〃GN*)

证明：①当〃=1时，左边=小，右边=2,小V2成立.

②假设当"=依1之1,AGN")时，结论成立，即.储+k<Z+l成立.

则当n=k+\时，左边=+1>+(&+1)=yjlc+k+2k+2<yl(k+l)2+2k+2=

N(k+2)2-l<k+2,

.,.n=k+1时，不等式也成立.

由①②可知，<H+1(nGN*).

探究三归纳——猜想——证明

［例3］若不等式一匕+士+-昌+…对一切正整数n都成立.

n-r1〃十2〃十33〃十124

(1)猜想正整数。的最大值；

(2)并用数学归纳法证明你的猜想.

［解析］(1)当〃=1时，Ay+W+W=1j=||,即翁〉/，所以“V26,而“是正

整数，所以猜想”的最大值为25.

(2)证明：下面用数学归纳法证明±+义+=…+丁匕>系.

n+1n+2n+33n+l24

①当n=\时，已证.

②假设当&GN*)时不等式成立，即出+士+士+…+五匕>招.

AvI1KI乙KI33K!144+

那么当〃=A+1时，

[I[I]」,1,1■I■1I1

也+1)+1伙+1)+2(&+1)+33k+l3Z+23A+33伙+1)+1

,I+T+jt+2+'"+3jl+l)+Gjl+2+3jt+3+3A+4TH')

^25______L_

24+(3A+23A+33&+4k+\

=25r一处士D一.2_]

-24干|_9庐+18Z+83(&+l)」

25J6(A+1)2

>24+|_9庐+18A+93(&+l)_

=25

=24,

即当n=k~\-1时不等式也成立.

根据①②，可知对任意"GN",都有』+工+工+…+旺7＞名.所以正整数”的

〃+1n+2〃+33〃+124

最大值为25.

方法技巧1.“归纳一猜想一证明”的一般环节

2.“归纳—猜想—证明”的主要题型

(1)已知数列的递推公式，求通项或前〃项和.

(2)由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，及求使命题成立的参数值问题.

(3)给出一些简单的命题(〃=1,2,3,…)，猜想并证明对任意正整数〃都成立的一般性命题.

跟踪探究3.考察下列各式

2=2X1

3X4=4X1X3

4X5X6=8X1X3X5

5X6X7X8=16X1X3X5X7

你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？

解析：由题意得，2=2X1,3X4=4X1X3,4X5X6=8X1X3X5,5X6X7X8=

16X1X3X5X7,…，

猜想:("+1)(”+2)(〃+3)…2〃=2"-1・3・5…・(2〃-1),

下面利用数学归纳法进行证明.

(1)当«=1时，猜想显然成立；

(2)假设当"=k(Z'l,ZCN")时，猜想成立，即(k+l)(k+2)(A+3)…2%=2人「3・5」•••(2k-

1),

那么当n=k+\时，

(%+1+1)(々+1+2)(%+1+3)•…・2(&+1)

=伏+1)伙+2)•2k-(2k+l)-2

=2*-1-3-5(2k~\)(2k+\\2

=2"」35•…・(2Z+1)

=2*+1-13-5---［2(*+1)-1］

所以当”=k+l时猜想成立.

根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.

103谣后讨论探究@------------------------------------------------------总结规律方法，提升核心素养

授课提示：对应学生用书第46页

I课后小结］

在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.

(2)递推是关键：正确分析由〃=%到〃=%+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证

明问题的保障；

(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，

否则这样的证明就不是数学归纳法证明.

［素养培优］