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第三章行波法与积分变换法行波法(求解无界区域内波动方程定解问题)积分变换法(无界或有界区域)3.1一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得同理有:代入方程，得到在上式中对积分,得(是的任意可微函数)再将此式对积分,其中

都是任意二次连续可微函数.利用初始条件，确定两个函数的具体形式。由第二式得……………②……………①.............③由①,③解得代入通解表达式，得—达朗贝尔(D’Alembert)公式.图3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑的物理意义随着时间t的推移u2的图形以速度a

向x轴正向移动.物理意义:随着时间t

的推移,的图形以速度a

向x轴正方向移动,也就是说,它表示一个以速度a向x轴正方向行进的波,称为右行波.同样道理,以速度a向x轴负方向传播的行波,称为左行波.在平面上斜率为的两族直线

,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线,变换称为特征变换,行波法也叫特征线法.的积分曲线,这个常微分方程称为它的特征方程

.一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.记称其为二阶线性偏微分方程的判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程特征线法对双曲型方程都是有效的.例求下面问题的解:(3.1)解:特征方程两族积分曲线为做特征变换代入方程化简得:它的通解为其中,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为代入初始条件,，得第二式的两端得关于积分得解得所求问题的解为解特征方程为特征曲线为例求方程的一般解.所以，做变换则原方程可以变为

其中,是任意的二次连续可微函数.于是，方程的通解为3.2高维波动方程三维波动方程的柯西问题:在同一时刻在以原点为中心的同一球面的值为常数。在球坐标中，u仅为半径和

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