江西省丰城县中2023-2024学年高二上学期创新班入学考试数学试题（含答案）

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数学

本试卷总分值为150分考试时长为120分钟

考试范围：必修一、必修二、选择性必修一

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合，，，则的子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.64个

2.实验测得六组成对数据的值为，，，，，，由此可得y与x之间的回归方程为，则可预测当时，y的值为（）

A.67B.66C.65D.64

3.已知，则的大小关系为（）

A.B.

C.D.

4.已知函数，若将图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（）

A.B.

C.D.

5.临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）

A.B.C.D.

6.在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（）

A.若，则二项展开式中系数最大的项是．

B.已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．

C.若，则二项展开式中的常数项是．

D.若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．

7.已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（）

A.有最小值1B.有最小值，且最小值小于1

C.恒成立D.存在，使得

8.2022年12月4日20点10分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十四号返回舱成功着陆直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（）

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9.某种疾病在某地区人群中发病率为0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为0.02，患病人群检测为阴性的概率为0.05.设事件A=“某人不患该病”，B=“该人被检出阳性”，则（）

A.

B

C.该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.999

D.某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为0.045

10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列说法正确的是（）

AB.

C.有最大值D.

11.已知直四棱柱，底面是边长为4的菱形，且，点分别为的中点．以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（）

A.点四点共面

B.直线与直线所成角的余弦值为

C.当球与直四棱柱的五个面有交线时，的范围是

D.在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球的体积最大时，球半径的最大值为

12.已知曲线：，则（）

A.上两点间距离的最大值为

B.若点在内部，则

C.若与直线有公共点，则

D.若与圆有公共点，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知复数满足，其中是虚数单位，则__________．

14.已知，则______．

15.A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有__________种．

16.已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数（，且）的图象过定点.

（1）求的坐标；

（2）若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围.

18.已知的内角的对边分别为，.

（1）求；

（2）求面积最大值.

19.如图，是一个边长为的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为的扇形，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮（是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.

（1）当长方形铁皮为正方形时，求此时它的面积；

（2）求长方形铁皮的面积的最大值.

20.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2023年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2023年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：

年份20232023202320232022

年份代码12345

年借阅量（册）3692142

（参考数据：）

（1）在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；

（2）通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种模型作为年借阅量关于年份代码的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

21.在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.

22.如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围.

江西省丰城县中2023-2024学年高二上学期创新班入学考试

数学答案

本试卷总分值为150分考试时长为120分钟

考试范围：必修一、必修二、选择性必修一

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】B

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【9题答案】

【答案】AD

【10题答案】

【答案】BCD

【11题答案】

【答案】ABD

【12题答案】

【答案】BC

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

四、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出文字说