第06讲对数与对数函数

第06讲对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.(e＝2.71828…)2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：=1\*GB3①1的对数为零：loga1＝0.=2\*GB3②底的对数为1：logaa＝1.=3\*GB3③零和负数没有对数．=4\*GB3④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③＝eq\f(m,n)logab．(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．重要推论：=1\*GB3①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；=2\*GB3②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一．对数式的运算例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,则m=____.【答案】10【详解】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1,则m=10.点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．（2）求值：_________________．【答案】【分析】先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以为底的对数的形式即可求得其值为，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．【详解】解：．故答案为．【点睛】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：；；等．（3）计算：＝________．【答案】1【解析】根据对数的运算法则求解即可.【详解】原式＝＝＝＝＝＝1．故答案为：1.【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目.（4）已知，，用a、b表示__________．．【答案】【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达是本题的关键；【详解】因为，所以，所以有换底公式得：因为，而，所以，∴故答案为：（5）若log34•log48•log8m＝log416，则m＝___．【答案】9．【分析】把给出的等式左边利用换底公式化简后整理即可得到m的值．【详解】解：由log34•log48•log8m＝log416，得，即，所以m＝9．故答案为：9．（6）若是方程的两个实根，则的值为______．【答案】12【分析】原方程可化为，设，则原方程可化为，利用换元法令，，再根据对数的运算法则，即可得答案；【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为．设方程的两根为，，则，．由已知a，b是原方程的两个根．可令，，则，，．故答案为：.【点睛】本题考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.【复习指导】：解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.二．对数函数的图像及应用例2．（1）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是（）A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b【答案】A【分析】令4个函数取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好是，通过函数的图象从左到右依次与交于，从而得出.【详解】令4个函数取同样的函数值1，即，解得，作出的图象从左到右依次与交于，，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.（2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得，；取特殊点，，．选A．（3）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.故选：D.（4）函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】由对数函数的性质可得定点，得到，再把式子化为，利用基本不等式，即可求解.【详解】由对数函数的性质可得，函数点的图象恒过定点，又因为点在直线，所以，则，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为4，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.（5）若对恒成立，则实数的取值范围是________________【答案】【分析】将已知不等式化简，利用指数函数和对数函数的图象和性质，列出不等式组，可得实数的取值范围．【详解】对，可化简为恒成立，画出和的图象如图所示，要使不等式成立，需满足，解得，故答案为：．（6）函数的零点个数为_______________.【答案】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.【复习指导】：对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．三．对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式的大小例3．（1）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.（2）（多选）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.【详解】A选项：为单调减函数，所以；B选项：与，当时，当时，所以；C选项：在时，而在时，所以；D选项：在上单调递增，所以；故选：BC.【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.（3）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考查幂函数得到，又运用中间变量得解【详解】，为增函数，故，即.故.故选C.【点睛】本题考查利用函数单调性判断函数值大小，同一题中有指对数式通常利用中间变量得解,属于基础题.（4）设x、y、z为正数，且，则（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【详解】令，则，，∴，则，，则，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.（5）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先证明，再证明，即得解.【详解】，，因为，所以.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于熟练掌握指数对数函数的运算和性质，从而达到比较大小的目的.【复习指导】：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.(3)比较对数值大小时常用的四种方法:=1\*GB3①同底数的利用对数函数的单调性．=2\*GB3②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．=3\*GB3③底数和真数都不同，找中间量．=4\*GB3④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．命题点2解对数方程或不等式例4．（1）已知集合,，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数单调性解集合，利用换元法和均值不等式求集合，然后利用集合间的交运算求解即可.【详解】由或，故或；不妨令，则，当且仅当时，即时，不等式取等号，故，从而.故选：C.（2）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【详解】由题意得或解得a>1或－1<a<0，故选C.（3）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（

）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}【答案】C【分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式，又在上是增函数，所以，即或，解得或.故选：C.（4）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值为1，所以，，解得．（5）方程的解是________.【答案】【分析】因为,故考虑看成的二次方程进行求解即可.【详解】,因式分解得,又,故故答案为【点睛】本题主要考查关于二次函数的复合函数求解问题,也可进行换元求解.（6）已知，且=1\*GB3①当时，解不等式；=2\*GB3②在恒成立，求实数的取值范围.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①当时，可得，即为，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；=2\*GB3②由在上恒成立，得在上恒成立，讨论，根据的范围，由恒成立思想，可得的范围.【详解】=1\*GB3①当时，解不等式，得，即，故不等式的解集为.=2\*GB3②由在恒成立，得在恒成立，当时，有，得，当时，有，得，故实数的取值范围.【复习指导】：对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．命题点3对数函数性质的综合应用例5．（1）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.（2）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】A【详解】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．【复习指导】：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．（3）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.【详解】，当时，；当时，.所以，.若对任意的，不等式恒成立，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【复习指导】：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.（4）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．（1，4）【答案】A【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．当时，，由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．当时，单调递增，则，所以，可得．故选：A【复习指导】：双变量存在与恒成立问题：若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则的值域是的子集．（5）已知函数，则函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数的零点个数即为的方程根个数，由写出的解析式，解出方程根，可得函数的零点个数．【详解】函数的零点个数即为的方程根个数，，则当时，令，解得或(舍)当时，令，解得或即函数的零点个数为个故选：C【点睛】本题考查函数零点的应用，考查分段函数，考查对数函数的性质，考查函数与方程思想，属于中档题．（6）若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．【答案】【分析】关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，进而转化为函数的图象恒在图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.1．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.2．在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数在第一象限内的图象与性质，再结合对数函数图象的平移即可得到结论.【详解】对于A来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在轴右侧（定义域为），所以A是不可能的；对于B来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以B是可能的；对于C来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以C是可能的；对于D来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以D是可能的.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，对数函数的图象与性质以及平移问题，属于基础题.3．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.【详解】因为函数在R上是奇函数，所以，所以，经检验，满足题意，又因为为减函数，所以，则（）由可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD；又的大致图象为B．故选：B4．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，排除AB，再由特殊值排除C，即可得解.【详解】因为，，所以，故函数是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除AB，当时，，排除选项C，故选：D5．已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据指对幂函数的图像性质判断的范围即可.【详解】由图,当时,,当时,又幂函数为增函数且上凸,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了指对幂函数的图像分析,属于基础题型.6．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象故选：B.7．已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数的图象，可看作与有四个不同的交点，结合两段函数图象分别与有2个交点可得交点的范围，再利用基本不等式可得答案.【详解】，，由函数的图象可知方程有四个不同的实根时，设与的交点的横坐标为，设，则，且，，设与交点的横坐标为，则，由得，，，.故选：D.【点睛】本题考查了方程实根问题，关键点是转化为函数图象交点问题，利用数形结合得到的范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想.8．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．9．已知函数，若，，均不相等，且==，则的取值范围是（

）A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)【答案】C【分析】画出函数图象，根据，不妨设，结合图象可求出范围【详解】函数的图象如图所示，不妨设，则，所以，，所以，，所以，故选：C10．已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：C11．已知，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不确定【答案】C【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C12．设,,则

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为，，，所以，故选A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.13．若，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小.【详解】根据指数与对数的关系和（）为增函数：，由，即故可得，即综上：故选：D.14．若a＝log54，b＝log43，c，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【答案】C【分析】利用，得，可比较b、c，通过作商，结合基本不等式可比较a、b．【详解】因为，所以，所以，即，又，所以因为所以即所以故选：C．15．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.【详解】依题意是定义域为R的偶函数，，，，，，，，由于在上单调递增，所以.故选：D16．已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知条件，由对数函数的单调性可得，然后利用反比例函数的单调性可以否定A；利用幂函数和指数函数的单调性，将不等式两边的数与中间量比较大小，可以证明B；根据对数函数的性质，当时可以否定C；由指数函数的性质可以否定D.【详解】为定义在上的单调减函数，故由已知可得，∵反比例函数在上的单调减函数，∴,故A错误；,∴幂函数在上的单调递增，又∵,∴；∵，∴指数函数在上的单调递减，又∴.∴，故B正确；由已知只能得到,当时,故C错误；由可得,故D错误.故选：B.【点睛】本题考查幂指对函数的性质，属基础题.综合利用幂指对函数的单调性比较大小，应当熟练掌握幂指对函数的单调性，对于幂函数，在指数大于0时，在第一象限内单调递增，当指数小于0时，在第一象限内单调递减；对于指数函数和对数函数，当底数大于1时在定义域内单调递增，当底数大于0小于1时在定义域内单调递减.17．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数对底数的要求，及对数的单调性特征，分段讨论a的取值情况，分别解不等式即可求得a的范围．【详解】因为所以当时，对数函数为减函数，所以，可得当时，对数函数为增函数，所以，可得综上所述，的取值范围为所以选D【点睛】本题考查了对数函数大小的判断，注意对数的底数对单调性的影响，属于中档题．18．已知是偶函数，它在，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用偶函数的性质将不等式变形为，再由函数在上的单调性得出，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.【详解】由于函数是偶函数，由得，又函数在上是增函数，则，即，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式确定集合，然后由交集的结果确定参数的取值范围．【详解】，，因为，所以，．又，∴．故选：D．【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．20．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对命题进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B．21．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先化简集合，再求得解.【详解】，则.故选：A【点睛】易错点睛：解不等式容易漏掉函数的定义域，从而得到，导致出错.解答函数的问题，要注意“定义域优先”的原则.22．定义在上的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化，结合对数不等式的解法进行求解即可.【详解】∵偶函数在上是减函数，且，∴在上是增函数，且，即，得或，得或，即不等式的解集为，故选：D.【点睛】本题主要考查了通过函数的奇偶性和单调性解抽象函数的不等式，属于中档题.23．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得函数的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为，求解可得x的取值范围，即可得出结论．【详解】根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为减函数，而在上为增函数，故在区间上为减函数，，解可得：，即不等式的解集为；故选:D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．24．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.【详解】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，1、关于对称，；2、且满足方程即，解得：；3、关于轴对称，则；故选：B25．已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（

）A．10个 B．9个 C．8个 D．1个【答案】A【分析】根据函数的周期性以及函数表达式，画出函数的图象，然后根据图象进行判断即可.【详解】由题可知，如图所示：当时，，根据图像可知，交点个数为10故选：A【点睛】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题.26．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的图象，设，设，可得出直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，利用对称性得出的值，并结合图象得出实数的取值范围，从而可得出的取值范围，由此得出的取值范围.【详解】作出函数的图象，设，设，由图象可知，当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，二次函数的图象关于直线对称，则，由于，即，得，解得，.因此，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查函数零点和的取值范围，解题时要充分利用函数的对称性来求解，也可以转化为以参数为自变量的函数，转化为函数的值域问题求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.27．（多选）已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（

）A．1 B．0 C．2 D．3【答案】CD【解析】先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.故选：CD.【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.28．（多选）已知函数，下列四个命题正确的是（

）.A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则【答案】ABD【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由，，，可得，再根据对数的运算即可判断B；求出函数的定义域即可判断C；由，可得，则，再利用作差法即可判断D.【详解】解：函数对于A，，，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，若，其中，，，所以，，即，得到，故B正确；对于C，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故C错误；对于D，因为，，，故，故D正确.故选：ABD.29．【答案】2【分析】根据对数的运算性质化简计算，即可求解得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得．故答案为：2.30．________．【答案】【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值【详解】原式31．设实数x满足，且，则______.【答案】【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果.【详解】

即，解得：或

或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.32．已知，且，则A的值是___________.【答案】或1【分析】利用对数知识可求出的值，进而求出A的值.【详解】由,得.当时,,满足条件.当时,由,得,从而,即,得.故答案为：或1.33．方程的解为___________.【答案】2【详解】依题意，所以，令，所以，解得或，当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解.考点：对数方程.34．若，则．【答案】【详解】∵，∴，∴.考点：对数的计算35．函数的零点是_______.【答案】【解析】把化为关于的二次方程，求出的值，再取对数即可.【详解】解：，即，，因为，所以，对两边取以3为底的对数得，，故答案为：【点睛】思路点睛：含有指数函数的二次函数型的函数的零点的求法一般是化为关于某个指数函数的二次方程，解二次方程求出指数函数的值，再取对数即可.36．法国数学家费马于1640年提出了猜想：是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，因为随着n的增大，迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学家欧拉算出满足，则满足的最小正整数_________.【答案】11【分析】将代入得到通项公式，然后解不等式即可.【详解】又故答案为：1137．已知，且，则的最小值为___________.【答案】3【分析】由条件得.后利用基本不等式可得答案.【详解】由题，则，得.又.则.当且仅当时取等号.故答案为:38．已知函数，若且，则的取值范围为___________.【答案】【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】画出的图象如图：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由图象得在上为减函数，∴，∴的取值范围是.故答案为：.39．已知函数经过定点A,定点A也在函数的图象上，_________．【答案】5【分析】由题意函数经过定点A，根据对数函数图像的性质，可求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，解得b的值，再将代入，即可求解出结果．【详解】函数经过定点A又定点A也在函数的图象上，解得．，故答案为5.【点睛】本题主要考查了对数函数的图像和性质，以及换底公式的应用．40．函数的所有零点之和为__________．【答案】9【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：941．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围.【详解】如下图所示：由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.42．关于函数，有以下四个命题：①函数在区间上是单调增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数的定义域为；④函数的值域为.其中所有正确命题的序号是________.【答案】①②④【分析】利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断②的正误；求出函数的定义域判断③的正误；由函数的值域判断④的正误.【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以①正确；函数，函数的图象关于直线对称，所以②正确；函数的定义域是，所以③不正确；函数，函数的值域是实数集，所以④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题.43．,的最大值为___________【答案】【分析】利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求函数的最值．【详解】==，令，则函数可化为，，当时，．【点睛】本题主要考查函数的最值的求法，利用换元法将函数转化为二次函数的解决本题的关键，考查学生的计算能力．44．时，恒成立，则的取值范围是_________________________【答案】【分析】对于任意，总有恒成立，则在时的图象恒在的上方．在同一坐标系中分别画出指数函数和对数函数图象，据此可求得a的取值范围．【详解】当时，函数的图象如下图所示：因为对于任意，总有恒成立，