子集全集补集

1.2子集、全集、补集【考点梳理】考点一：子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二：空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．考点三：全集与补集考点三：．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.考点四：．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由题意可知集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即可得答案.【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）设集合，则集合A的真子集个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可．【详解】因为，所以，所以集合A的真子集个数是，故选：B．3．（2020秋·江西九江·高一校考阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先化简集合A，B，再根据求解.【详解】因为集合，，且，所以.故选：B.题型二：根据集合包含关系求参数4．（2023·全国·高一课堂例题）设，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用数轴结合即可得到参数范围.【详解】因为，所以利用数轴表示，如图，可知．故选：B.5．（2023秋·河南·高一河南省实验中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分、和三种情况讨论，分别求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.【详解】因为或，，当时，此时，符合题意；当时，若则，因为，所以，解得，又，所以，若则，因为，所以，解得，又，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故选：C6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解出集合，分、两种情况讨论，在时，直接验证；在时，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.综合可得出结果.【详解】因为，当时，，合乎题意；当时，则，可得或，解得或.综上所述，实数的取值集合为.故选：A.题型三：根据集合相等关系求参数7．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A8．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）已知a，，若，则的值为（

）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】C【分析】根据集合相等及要有意义，得到，，进而得到，求出，舍去不合题意的值，再计算的值.【详解】，因为要有意义，所以，所以，求得：，故，所以，解得：，根据元素互异性，舍去，故，所以.故选：C9．（2021秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知集合，，，，，，若A=B，则a+2b=（

）A．2 B．2 C．1或2 D．1【答案】D【分析】根据集合相等求得，由此求得.【详解】由于，所以或，没有符合题意的解..故选：D题型四：与空集有的集合问题10．（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C11．（2020秋·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】集合是空集的时候满足题意，求无解时的取值范围即可.【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集，当时，，满足条件；当时，有，即，集合是空集，满足条件，综上所述，集合的子集只有一个时，，故选：C.【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质.12．（2021·高一课时练习）已知全集，，A是U的子集．若,则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据A是U的子集．且，即可求出的取值范围，比较基础【详解】由题意知，集合，所以，又因为A是U的子集，故需，所以a的取值范围是．故选：D题型五：根据补集运算求集合13．（2023春·广东深圳·高一校考期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集的概念直接计算.【详解】因为，，所以.故选：B14．（2023春·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得，，则，故选：A15．（2023秋·重庆北碚·高一统考期末）已知全集，，则（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】解：因为全集，，所以或.故选：B题型六：根据补集运算求参数问题16．（2022秋·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）设全集，集合，，则的值为（

）A． B．和 C． D．【答案】C【分析】利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为，集合，，由补集的定义可知的可能取值为3或4，当即时，不满足题意；当即时，，此时满足题意，综上，故选：C17．（2022秋·高一课时练习）设集合，集合，，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由补集运算可求得，则是方程的两根，由韦达定理求得结果.【详解】，，，即是方程的两根，.故选：B.18．（2021·全国·高一专题练习）若下列关于的方程，，，（为常数）中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先假设三个方程都无实根，利用判别式为负值得到的取值范围，再利用补集进行求解．详解：若三个方程都无实根，则，即，即；若三个方程至少有一个方程有实根，则或．题型七：子集、真子集和补集的综合性问题19．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围．【答案】【分析】讨论和两种情况，根据子集关系，列不等式，即可求解.【详解】当时，时，，即；当时，，解得，即，故实数的取值范围是.20．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；②当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得.21．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，且．(1)若，求实数的值；(2)若，且，求实数的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可；（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.【详解】（1）由解得，所以，因为，所以是集合中元素，所以将代入得，解得，.（2）因为，由（1）得是集合中元素，当即时，此时符合题意；当时，①，此时符合题意；②，此时不满足集合元素的互异性，舍去；综上或.【双基达标】一、单选题22．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列关系中错误的个数是（

）①；

②；

③④；

⑤；

⑥A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的包含关系判断可得出合适的选项.【详解】由元素与集合的关系可知，①④都错，⑤对，由集合与集合的关系可知，②③都错，⑥对.故选：B.23．（2023·全国·高一课堂例题）若集合，，且，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．或或0【答案】D【分析】根据子集的定义可判断.【详解】解：当时，可得，符合题意，当时，，当时，，综上，的值为或或.故选：D.24．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（

）A．M＝P B．MPC．P⊆M D．MP【答案】D【分析】变化，可知又可判断时，，则【详解】①对于任意∵，∴，∴，由子集定义知.②∵，此时，即，而在时无解，.综合①②知，MP.故选：25．（2023秋·高一课时练习）若集合，当分别取下列集合时，求．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】根据补集的定义结合数轴求解即可.【详解】（1）把集合表示在数轴上如下图所示．由图知或．（2）把集合和表示在数轴上，如下图所示．由图易知或．（3）把集合和表示在数轴上，如下图所示．由图易知或．26．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系；（2）利用集合所表示的含义即可判断；（3）求出集合即可判断.【详解】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知．（2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴．（3）．在集合B中，当n为奇数时，，当n为偶数时，，∴，∴．27．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，若,求实数m的取值范围．【答案】【分析】根据集合的包含关系，列出关于端点的不等式组，即可求解.【详解】解得，故.的取值范围是．【高分突破】一、单选题28．（2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】将集合改写成形式统一的格式，再判断其表示数集的范围即可得出其关系.【详解】已知，，，显然可表示整数，而只能表示偶数；所以.故选：A．29．（2023·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.【详解】由于，故时，则且，若中只有一个元素，①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，当时，则符合题意，综上可知：或，故选：D.30．（2023·高一课时练习）已知集合且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解.【详解】由，又且,所以，故选：B31．（2023春·四川成都·高一校联考期末）下面有四个命题：①；②若，则；③若不属于，则a属于；④若，则其中真命题的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.【详解】①由子集概念知正确；②因为，所以，故错误；③当时，，，故错误；④因为，所以，故错误.故选：B32．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围.【详解】由题意得，解得，故，因为，所以.故选：A33．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，①当时，即当时，则，合乎题意；②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，则，解得.综上所述，或.故选：D.34．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，集合且，则集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】求出集合及子集可得答案.【详解】由题意可得，故子集为，共有8个.故选：B.35．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两集合中的元素特征可知，集合分别表示的是的奇数倍和整数倍，根据补集运算可知表示的应是的偶数倍.【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍，而由可知，集合表示的是的整数倍，即，所以.故选：B二、多选题36．（2023秋·高一单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（

）A．2 B．4 C．7 D．9【答案】ABC【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案.【详解】当，即时，；当，即时，，要使，须有，解得，即，综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7，故选：ABC37．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）设集合，集合，若，则可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据，可得或或，进而可求出的值．【详解】因为，所以或或，则或或，解得或或.故选：ACD.38．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项A正确；对于选项B，方程，因式分解得，解得或，所以，不满足，所以选项B错误；对于选项C，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项C正确；对于选项D，因为，所以是方程的解，所以方程变形为，因为，所以方程无解，所以方程有唯一解，所以，满足，所以选项D正确；故选：ACD.39．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：①②③，若且，则④，若且，则就称集合为集合的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（

）A．设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有3个B．设，则集合是集合的一个“偏序关系”C．设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有6个D．是实数集的一个“偏序关系”【答案】ACD【分析】利用偏序关系的定义逐项判断.【详解】A项，共3个，故正确；B项，不能同时出现和，故错误；C项，首先必须含有，则剩余拿一个即可，共6个，故正确；项，满足①，②，，则，则，故，满足③，，则，则，则，故，满足④，故正确；故选：ACD三、填空题40．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．【答案】36【分析】写出其所有非空子集，再计算其元素之和即可.【详解】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．故所求和为为．故答案为：36.41．（2023·全国·高一课堂例题）设a，，若集合，则．【答案】0【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出，进而可得到答案.【详解】由易知，，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解，综上可知，，，所以．故答案为：0.42．（2023秋·高一课时练习）下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是．【答案】①③⑤【分析】由元素和集合的关系，集合间的基本关系，判断关系式是否正确.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，，故②错误，⑤正确；由集合与集合的关系可知，，故③正确，④⑥错误；故答案为：①③⑤43．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则.【答案】521【分析】根据题意以及集合元素的互异性和集合相等的概念可知，对的所有可能取值分类讨论即可得符合题意，代入计算即可得出结果.【详解】根据题意可知，①若正确，则，不合题意；②若正确，则，不合题意；③若正确，则，符合题意，所以.故答案为：44．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为．【答案】31【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到非空子集个数.【详解】集合，，定义，则，元素个数为5，故集合的所有非空子集的个数为故答案为：31四、解答题45．（2023秋·高一课时练习）已知集合．(1)用列举法表示集合，并求集合的真子集的个数；(2)若，求所有满足条件的集合；(3)若，求满足条件的集合的个数．【答案】(1)；7(2)，，，(3)3【分析】（1）由集合中等式成立的条件，确定元素的取值，由公式计算真子集的个数；（2）由集合的包含关系，确定集合中的元素；（3）由集合的包含关系和真子集的定义，确定集合的个数．【详解】（1）由知．又，所以，集合A的真子集的个数为．（2）由题意知集合中必含元