概率与统计高考大题专项练-2022届高考数学(理科)一轮复习

高考大题专项(六)概率与统计1.(2020北京,18)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:方案男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案的概率估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)2.(2020全国3,理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):空气质量等级锻炼人次[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?空气质量情况人次≤400人次>400好不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.3.“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:分数[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数601002020频率0.30.50.10.1(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4<Z≤83.8);(2)以频率估计概率,若从该地区所有党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80分的人数为X,求X的分布列与数学期望.参考数据:5≈2.2,6≈2.4,7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.4.微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:x/万步0≤x≤0.40.4<x≤0.80.8<x≤1.21.2<x≤1.61.6<x≤2.02.0<x≤2.42.4<x≤2.8y/人5205018331(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.5.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.得分(百分制)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数1020302515(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题得2分,答错得0分;④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.6.棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;(2)证明:Pn+1-Pn=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤(3)求P99,P100的值.参考答案高考大题专项(六)概率与统计1.解(1)该校男生支持方案一的概率为200200+400=1(2)3人中恰有2人支持方案一分两种情况,①仅有两个男生支持方案一,②仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一,所以3人中恰有2人支持方案一概率为:1=13(3)p1<p0.2.解(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)根据所给数据,可得2×2列联表:空气质量情况人次≤400人次>400好3337不好228根据列联表得K2=100×(33×由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.3.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=80=45≈8.∴P(57.4<Z≤83.8)=P(μ-2σ<Z≤μ+σ)≈0.6827+0.9545(2)从该地区所有党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为40200=15.由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B∴P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4所以X的分布列为X01234P25625696161所以E(X)=4×4.解(1)根据题意,补充下表,x/万步0≤x≤0.40.4<x≤0.80.8<x≤1.21.2<x≤1.61.6<x≤2.02.0<x≤2.42.4<x≤2.8y/人5205018331频率0.050.200.500.180.030.030.01频率0.1250.51.250.450.0750.0750.025根据表中数据,作出频率分布直方图如下:(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C32×142×34+C33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为1且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P(ξ=0)=12当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,当X=所以ξ的分布列为ξ012P311E(ξ)=1×12+5.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A,则P(A)=C(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为:x=10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,则μ=53,由σ2=361,得σ=19,所以P(Z>72)=P(Z>μ+σ)=12(1-P(μ-σ<Z≤μ+σ))≈0.15865,所以,估计该市参加预赛的全体学生中,成绩高于72分的人数为20000×0.15865=即全市参赛学生中预赛成绩高于72分的人数为3173.(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且E(ξ)=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,∴E(X)=2E(ξ)=1.5n,依题意为了获取答n道题的资格,甲需要“花”掉的分数为:0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),设甲答完n题后的复赛成绩的期望值为f(n),则f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N*,所以当n=7时,f(n)取最大值104.9.即当他的答题数量n=7时,他的复赛成绩的期望值最大.6.(1)解由题意可知,随机变量X的可能取值有3,4,5,6.P(X=3)=123=18,P(P(X=5)=C32×123=所以,随机变量X的分布列如下表所示:X3456P1331所以,随机变量X的数学期望为E(X)=3×18+4×38+5(2)证明根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种情况,由第n站跳1站得到,其概率为12Pn,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为12Pn-1,所以,Pn+1=12Pn+12Pn-1.等式两