北京市朝阳区届高三上学期期中考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分(选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1。已知集合A={x｜x>1}，B=｛x|log2x〉1}，则A∩B=A.｛x｜x〉1｝B。{x|1〈x〈2}C。｛x｜x>2}D.｛x｜x>0｝【答案】C【解析】集合A={x｜x>1｝，B=｛x｜log2x>1｝={x｜x>2}，所以A∩B={x|x>2｝。故选C。2。已知实数x,y满足条件则x+2y的最大值为A.12B。10C.8D.6【答案】B【解析】作出可行域如图:由图可知目标函数在点C处取得最大值为10故选：B点睛:本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3。要得到函数y=sin（2x-）的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点A.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B。先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C。横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D。横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】C【解析】函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，再向右平移个单位长度，故选：C4.已知非零平面向量,，则“｜+|=||+|｜”是“存在非零实数l，使=λ”的A。充分而不必要条件B.必要而不充分条件C。充分必要条件D。既不充分也不必要条件【答案】A【解析】（1）若｜+｜=｜|+｜|，则，方向相同,∴，共线,∴存在非零实数λ,使=λ。∴“｜+|=||+||”是“存在非零实数λ,使=λ”的充分条件；(2)若存在非零实数λ，使=λ,则，共线，∴当，方向相同时,｜+｜=|｜+｜｜,当，方向相反时,|+|<｜|+||,∴∴“|+|=｜|+｜｜"不是“存在非零实数λ，使=λ”的必要条件.学%科%网...学％科％网。.。学％科％网..。学%科％网。。。学%科%网。..学%科％网.。.学%科％网。.。故选A.5。已知Sn是等差数列｛an}(n∈N＊）的前n项和，且S5〉S6〉S4，以下有四个命题:①数列｛Sn}中的最大项为S10②数列{an}的公差d<0③S10〉0④S11〈0其中正确的序号是A.②③B.②③④C.②④D.①③④【答案】B【解析】Sn是等差数列{an}（n∈N＊）的前n项和，由，得,所以公差d=,②正确；由知，数列｛Sn}中的最大项为S5，①不正确；,③正确；,④正确.故选B。6.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥DC，E是CD的中点DC=1,AB=2,则·=A.5B.-5C.1D.—1【答案】D【解析】过E作EF⊥AB，垂足为F，则，∴·。故选D。点睛：平面向量数量积的类型及求法(1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝｜a｜｜b|cosθ;二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义。(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简。7。袋子里有编号为2,3,4，5,6的五个球,某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙,再让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说:“我无法确定.”乙说:“我也无法确定."甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了。”根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A.一定有3号球B。一定没有3号球C。可能有5号球D.可能有6号球【答案】D【解析】甲说：“我无法确定。”说明两球编号的和可能为7包含（2，5）,（3，4），可能为8包含(2,6）,（3，5），可能为9包含（3,6）,(2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3,4）或（2，6）根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选:D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.8。已知函数f（x)=sin（cosx）—x与函数g(x）=cos（sinx）—x在区间(0,)都为减函数,设x1，x2，x3∈(0，)，且cosx1=x1，sin(cosx2)=x2，cos(sinx3）=x3，则x1,x2，x3的大小关系是（）A。x1〈x2<x3B。x3〈x1〈x2C。x2<x1〈x3D.x2〈x3〈x1【答案】C【解析】先证明当（0，)时,。令，所以在（0,)上单调递减,所以，即.由，所以,即又cos（sinx3）=x3，即，且g(x)在区间(0,)都为减函数，所以。同理：.即.又，且f(x）在区间（0，）都为减函数，所以.综上:。故选C.点睛：利用函数单调性比较大小：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“"，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内。第二部分（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分。把答案填在答题卡上.9.执行如下图所示的程序框图,则输出i的值为_______【答案】5【解析】执行程序：，，不符合，返回，不符合，返回，不符合，返回,符合，输出故答案为：510。已知函数f(x)=,若f(x)的图象与直线y=kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围________【答案】［2，2）【解析】作出f（x）的函数图象，如图所示:由图象可知当时,直线y=kx与f（x)的图象在第一象限有2个交点；设直线y=k1x与y=相切，切点为(a，b)，则解得.设直线y=k2x与y=相切，切点为（m,n)，则,解得，∴∴当−〈k<0时，直线y=kx与f（x)的图象在第四象限有2个交点；当k<−eln2时,直线y=kx与f(x)的图象在第二象限有2个交点。综上，k的取值范围是。故答案为:.点睛:研究函数零点(方程根)个数，三种常用的方法：（1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象,然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题11。已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为［0，1］；③f（x)-f(-x）=0。试写出一个函数解析式f(x）=__________【答案】f(x)=｜sinx|或或f（x)=（答案不唯一）【解析】函数定义域为R，值域为且为偶函数，满足题意的函数解析式可以为：或或12.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值S。若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为；当r=______时，罐头盒的体积最大________.【答案】(1)。V=Sr—πr3(0〈r〈）(2)。【解析】由题意得：圆柱的高是，故；，令v′（r）〉0，解得:，令v′（r)<0,解得：,故v（r）在(0，)递增，在(，）递减,故当r=时V最大，故答案为：。13。将集合M={1，2,3，.。.，15}表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合)的并集,并且这些三元子集的元素之和都相等,则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集__________(只写出一组)【答案】(1)。24（2）。{1，8,15｝,｛3,7，14｝，｛5,6，13},{2，10，12｝，{4，9，11}（答案不唯一）【解析】因为5个三元子集(三元集：含三个元素的集合）的并集为集合M={1,2,3,。。。,15}所以元素总和为：，又因为这5个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为.满足上述条件的集合M的5个三元子集可以是:{1，8，15}，{3,7，14}，｛5，6，13｝,｛2，10，12｝，｛4，9,11}（答案不唯一）。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。14。已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1。（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）若数列{bn｝满足bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ）an=2n—1；（Ⅱ）Tn=。【解析】试题分析：（Ⅰ）由n≥2时，an=Sn—Sn-1即可得通项公式；（Ⅱ）bn=an=2n-1=1—n,利用等差数列求和公式求解即可.试题解析：（Ⅰ）当n=1时,a1=1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1，an=2an—2an—1，即an=2an-1所以数列｛an}是首项为1，公比为2的等比数列。故an=2n-1，n∈N*.（Ⅱ)由已知得bn=an=2n—1=1—n.因为bn-bn-1=（1-n)—（2-n)=—1，所以{bn｝是首项为0，公差为-1的等差数列.故{bn}的前n项和Tn=。15.已知函数f（x)=2sinxcos（x—).（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期.（Ⅱ)当x∈[0,]时，求函数f（x）的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ)f（x）∈[0,1+］.【解析】试题分析：（Ⅰ)由两角差的余弦公式展开，结合二倍角公式化简得f（x)=sin（2x—）+,进而得周期；(Ⅱ）由x∈[0,]得2x—∈[-，]，即可得sin（2x—）∈［-，1］，从而得解.试题解析：因为f(x)=2sinx×cos(x—）,所以f（x)=2sinx×（cosxcos+sinxsin）=sinx×cosx+sin2x=sin2x+(1-cos2x）=sin(2x-）+.（Ⅰ)函数f(x）的最小正周期为.（Ⅱ）因为x∈［0，］，所以2x-∈[-,]。所以sin（2x-）∈［-，1］。所以f（x)∈［0,1+］。16。在△ABC中，A=，=.（Ⅰ）试求tanC的值；（Ⅱ）若a=5,试求△ABC的面积。【答案】（Ⅰ)tanC=;(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得：,将A=代入求解得4sinC=3cosC，进而得tanC的值；（Ⅱ）结合条件由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA得25=b2+（b)2—2b×b×。求解b，c代入S=bcsinA求解面积即可。试题解析：（Ⅰ）因为A=,=，所以==.所以7sinC=3所以7sinC=3所以7sinC=3cosC+3sinC。所以4sinC=3cosC。所以tanC=.（Ⅱ）因为A=，=,a=5,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得25=b2+(b）2-2b×b×.所以b=7，c=3。所以△ABC的面积S=bcsinA=×7×3×。17.已知函数f（x)=（x2-ax+a）e—x,a∈R（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x）=f’（x),其中f’(x）为函数f（x)的导函数。判断g(x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由。【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导得f’(x）=—（x—2）（x-a)e-x，讨论a和2的大小,结合导数的正负讨论单调性即可；（Ⅱ)g'(x)=f＂(x)=［x2-(a+4）x+3a+2]×e—x，记h（x）=x2—(a+4）x+3a+2,通过二次函数的性质知函数有正有负，从而得g(x）在定义域内不为单调函数.试题解析:（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x｜x∈R｝。。①当a<2时，令f'（x)<0，解得：x<a或x〉2，f(x)为减函数；令f’（x)〉0,解得:a<x〈2，f(x)为增函数。②当a=2时，f’（x)=—(x—2）2e-x≤0恒成立，函数f（x）为减函数；③当a>2时，令f’(x）〈0，解得：x〈2或x〉a，函数f（x）为减函数；令f’(x)〉0，解得：2<x<a，函数f(x）为增函数.综上，当a〈2时,f(x)的单调递减区间为(-∞，a），（2，+∞）；单调递增区间为（a,2）；当a=2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞）；当a>2时，f（x)的单调递减区间为（-∞，2）,（a,+∞)；单调递增区间为（2，a).（Ⅱ）g（x)在定义域内不为单调函数，以下说明:g’(x)=f＂（x）=［x2—(a+4）x+3a+2］×e-x。记h(x）=x2—（a+4）x+3a+2,则函数h（x）为开口向上的二次函数.方程h(x)=0的判别式△=a2-4a+8=(a-2)2+4〉0恒成立。所以,h(x）有正有负,从而g’(x)有正有负故g(x)在定义域内不为单调函数。18.已知函数f（x)=-lnx-。（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程;（Ⅱ）求证：lnx≥—(Ⅲ）判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.【答案】(Ⅰ）（-1）x-y-+1=0；(Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）函数求导得切线斜率为f’（1）=-1，再利用直线的点斜式求解即可；（Ⅱ）要证明lnx≥-，(x>0)”等价于“xlnx≥—”,设函数g(x)=xlnx，求导结合单调性得g（)即可证得；（Ⅲ）由（Ⅱ)可知lnx≥，所以f（x)≤—(）,求导结合单调性得k（x）≤k(1)=0恒成立,即可证得。试题解析：函数的定义域为(0，+∞)，f'（x)=-—+（Ⅰ）f’(1)=—1,又f(1)=—曲线y=f(x）在x=1处的切线方程为y+=（-1)x—+1.即(-1)x—y—+1=0.（Ⅱ）“要证明lnx≥—，(x>0)”等价于“xlnx≥设函数g（x）=xlnx。令g’（x）=1+lnx=0，解得.x（0,）（）g（x）—0+g（x）递减递增因此,函数g(x)的最小值为g()=—，故xlnx≥。即lnx≥.（Ⅲ）曲线y=f(x）位于x轴下方。理由如下：由（Ⅱ）可知lnx≥,所以f（x)≤—=（）.设k（x）=，则k’(x）=令k’（x）〉0得0<x〈1;令k'(x)<0得x>1.所以k(x)在（0，1)上为增函数，（1,+∞)上为减函数.所以当x>0时,k(x）≤k（1）=0恒成立，当且仅当x=1时,k(1）=0.又因为f(1）=-〈0，所以f(x)〈0恒成立.故曲线y=f(x)位于x轴下方。点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.19.数列a1,a2……an是正整数1,2,……，n的任一排列，且同时满足以下两个条件：①a1=1；②当n≥2时,|ai-ai+1｜≤2(i=1，2，…，n—1)。记这样的数列个数为f(n)。（I）写出f(2），f（3）,f（4）的值；（II)证明f(2018）不能被4整除.【答案】（Ⅰ）f（2）=1，f（3）=2,f(4）=4；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）根据题意，由f（n）的定义，计算即可得答案;

(Ⅱ)根据题意,把满足条件①②的