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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精北京市昌平区临川育人学校2016—2017学年高一(下)3月月考数学试卷(解析版)一、选择题:1.下列物理量中,不能称为向量的是()A.质量 B.速度 C.位移 D.力2.设O是正方形ABCD的中心,向量是()A.平行向量 B.有相同终点的向量C.相等向量 D.模相等的向量3.数轴上点A,B分别对应﹣1、2,则向量的长度是()A.﹣1 B.2 C.1 D.34.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形5.若向量数量积•<0则向量与的夹角θ的取值范围是()A.(0,) B.[0,) C.(,π] D.(,π)6.已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=()A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.87.已知向量,,若,则实数m等于()A.﹣2 B.2 C.﹣2或2 D.08.在△ABC中,若A=30°,B=60°,b=,则a等于()A.3 B.1 C.2 D.9.在△ABC中,已知A=60°,a=,b=,则B等于()A.45°或135° B.60° C.45° D.135°10.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则边a等于()A.9 B.3 C.27 D.311.在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:3,则cosC的值为()A. B.﹣ C. D.﹣12.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:13.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走8km”,则a+b表示.14.已知=(3,),=(1,0),则•=.15.在△ABC中,AB=3,AC=2,A=60°,则S△ABC=.16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.三、解答题:(17题10分,18-22每题12分,共70分)17.(10分)已知=(4,3),=(﹣1,2).(1)求||;(2)求与的夹角的余弦值.18.(12分)已知向量,的夹角为120°,||=1,||=5.(1)求•;(2)求|3﹣|.19.(12分)已知△ABC中,A(2,4),B(﹣1,﹣2),C(4,3),BC边上的高为AD.(1)求证:AB⊥AC;(2)求点D与向量的坐标.20.(12分)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,C=60°.(1)求c的值;(2)求sinB的值.21.(12分)如图所示,我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的最短时间.22.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
2016—2017学年北京市昌平区临川育人学校高一(下)3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:1.下列物理量中,不能称为向量的是()A.质量 B.速度 C.位移 D.力【考点】向量的物理背景与概念.【分析】据向量的概念进行排除,质量质量只有大小没有方向,因此质量不是向量,而速度、位移、力既有大小,又有方向,因此它们都是向量.【解答】解:既有大小,又有方向的量叫做向量;质量只有大小没有方向,因此质量不是向量.而速度、位移、力既有大小,又有方向,因此它们都是向量.故选A.【点评】此题是个基础题.本题的考点是向量的概念,纯粹考查了定义的内容.注意知识与实际生活之间的连系.2.设O是正方形ABCD的中心,向量是()A.平行向量 B.有相同终点的向量C.相等向量 D.模相等的向量【考点】向量的模.【分析】利用正方形ABCD的中心的性质得到中心到四个顶点的距离相等,从而得到答案.【解答】解:因为正方形的中心到四个顶点的距离相等,都等于正方形的对角线的一半,故向量是模相等的向量,故选D.【点评】本题考查向量的模的定义,正方形ABCD的中心的性质,属于容易题.3.数轴上点A,B分别对应﹣1、2,则向量的长度是()A.﹣1 B.2 C.1 D.3【考点】向量的模.【分析】求出线段AB的长,从而求出向量的模即可.【解答】解:数轴上点A,B分别对应﹣1、2,则向量的长度即||=3,故选:D.【点评】本题考查了向量求模问题,是一道基础题.4.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【考点】相等向量与相反向量.【分析】由向量相等,得出四边形ABCD是平行四边形;由模长相等,得出平行四边形ABCD是菱形.【解答】解:四边形ABCD中,∵=,∴BA∥CD,且BA=CD,∴四边形ABCD是平行四边形;又||=||,∴平行四边形ABCD是菱形;故选:C.【点评】本题考查了向量的相等与平行四边形以及菱形的判定问题,是基础题.5.若向量数量积•<0则向量与的夹角θ的取值范围是()A.(0,) B.[0,) C.(,π] D.(,π)【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.【分析】利用向量的数量积,转化求解向量的夹角即可.【解答】解:向量数量积•<0,可得||||cos<,><0,可得cos<,><0,<,>∈(,π],故选:C.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的夹角的求法,考查计算能力.6.已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=()A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】求出向量+的坐标,根据向量垂直的充要条件,构造关于m的方程,解得答案.【解答】解:∵向量=(1,m),=(3,﹣2),∴+=(4,m﹣2),又∵(+)⊥,∴12﹣2(m﹣2)=0,解得:m=8,故选:D.【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题.7.已知向量,,若,则实数m等于()A.﹣2 B.2 C.﹣2或2 D.0【考点】平行向量与共线向量.【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.【解答】解:向量,,若,可得m2=4,解得m=±2.故选:C.【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算能力.8.在△ABC中,若A=30°,B=60°,b=,则a等于()A.3 B.1 C.2 D.【考点】余弦定理.【分析】由条件利用正弦定理求得a的值.【解答】解:△ABC中,∵A=30°,B=60°,b=,由正弦定理可得=,=,∴a=1,故选:B.【点评】本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题.9.在△ABC中,已知A=60°,a=,b=,则B等于()A.45°或135° B.60° C.45° D.135°【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理求出sinB===.从而由0<B<π即可得到B=45°或135°,又由a=>b=,可得B<A,从而有B,可得B=45°.【解答】解:由正弦定理知:sinB===.∵0<B<π∴B=45°或135°又∵a=>b=,∴B<A,∴B∴B=45°故选:C.【点评】本题主要考察了正弦定理的应用,属于基本知识的考查.10.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则边a等于()A.9 B.3 C.27 D.3【考点】正弦定理.【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解.【解答】解:∵b=3,c=3,A=30°,∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:a==3.故选:B.【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.11.在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:3,则cosC的值为()A. B.﹣ C. D.﹣【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】已知比例式利用正弦定理化简,求出三边之比,表示出三边长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值即可.【解答】解:∵在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:3,∴a:b:c=3:2:3,设a=3k,b=2k,c=3k,则cosC===,故选:A.【点评】此题考查了余弦定理,以及比例的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.12.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】余弦定理的应用.【分析】直接利用余弦定理求解即可.【解答】解:在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC,可得:13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=﹣4(舍去).故选:A.【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力.二、填空题:13.若a表示“向东走8km",b表示“向北走8km”,则a+b表示向东北方向走8km.【考点】向量的加法及其几何意义.【分析】利用平行四边形法则求向量的和.【解答】解:|a+b|==8(km).故答案为:向东北方向走8km.【点评】本题考查向量的加减运算法则,是一道基础题.14.已知=(3,),=(1,0),则•=3.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由向量的数量积的坐标表示,计算即可得到所求值.【解答】解:=(3,),=(1,0),则•=3×1+×0=3.故答案为:3.【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力,属于基础题.15.在△ABC中,AB=3,AC=2,A=60°,则S△ABC=.【考点】正弦定理.【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解:∵AB=3,AC=2,A=60°,∴S△ABC=AB•AC•sinA==.故答案为:.【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力,属于基础题.16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.【考点】解三角形.【分析】运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得sinB,运用正弦定理可得b=,代入计算即可得到所求值.【解答】解:由cosA=,cosC=,可得sinA===,sinC===,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,由正弦定理可得b===.故答案为:.【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式,以及同角的平方关系的运用,考查运算能力,属于中档题.三、解答题:(17题10分,18—22每题12分,共70分)17.(10分)(2017春•昌平区月考)已知=(4,3),=(﹣1,2).(1)求||;(2)求与的夹角的余弦值.【考点】数量积表示两个向量的夹角.【分析】(1)根据向量模的定义即可求出(2)根据平面向量的数量积的定义解答.【解答】解:(1)∵=(﹣1,2),∴||==,(2)设与的夹角为θ,∵=(4,3),=(﹣1,2),∴=4×(﹣1)+3×2=2,||==5,∴cosθ===【点评】本题考查了向量的数量积的定义以及向量模的运用求向量的夹角,属于基础题.18.(12分)(2017春•昌平区月考)已知向量,的夹角为120°,||=1,||=5.(1)求•;(2)求|3﹣|.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】(1)根据平面向量数量积的定义计算•;(2)根据模长公式计算|3a﹣b|.【解答】解:(1)向量,的夹角为120°,||=1,||=5;∴•=||×||cos120°=1×5×(﹣)=﹣;(2)=9﹣6•+=9×12﹣6×(﹣)+52=49,∴|3a﹣b|=7.【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题,是基础题.19.(12分)(2012秋•潮阳区期末)已知△ABC中,A(2,4),B(﹣1,﹣2),C(4,3),BC边上的高为AD.(1)求证:AB⊥AC;(2)求点D与向量的坐标.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】(1)利用已知条件,求出,即可证明AB⊥AC;(2)设出点D的坐标,与,列出方程,即可求出D的坐标,即可求出向量的坐标.【解答】(本小题满分12分)解:(1)由,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)所以,即AB⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(2)设D(x,y),∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)∵,∴5(x﹣2)+5(y﹣4)=0∵,∴5(x+1)﹣5(y+2)=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)∴D(),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用,向量的数量积的应用,考查计算能力.20.(12分)(2017春•昌平区月考)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,C=60°.(1)求c的值;(2)求sinB的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由余弦定理求得c的值;(2)由正弦定理求得sinB的值.【解答】解:(1)△ABC中,a=3,b=4,C=60°,由余弦定理得,c2=a2+b2﹣2abcosC=32+42﹣2×3×4×cos60°=13,解得c=;(2)由正弦定理,=,∴sinB===.【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,是基础题.21.(12分)(2013秋•商丘期中)如图所示,我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的最短时间.【考点】解三角形的实际应用.【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时,根据各自的速度表示出BC与AC,由∠ABC=120°,利用余弦定理列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值.【解答】解:设我艇追上走私船所需要的
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