北京市昌平区临川育人学校高一下学期月月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市昌平区临川育人学校2016—2017学年高一（下）3月月考数学试卷(解析版)一、选择题:1．下列物理量中，不能称为向量的是（)A．质量 B．速度 C．位移 D．力2．设O是正方形ABCD的中心,向量是(）A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等向量 D．模相等的向量3．数轴上点A，B分别对应﹣1、2,则向量的长度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．34．若|｜=｜｜且=，则四边形ABCD的形状为（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形5．若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．（0，） B．[0，） C．(，π］ D．（，π）6．已知向量=（1，m）,=(3,﹣2)，且(+）⊥，则m=(）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．87．已知向量，，若，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．08．在△ABC中，若A=30°，B=60°，b=，则a等于（)A．3 B．1 C．2 D．9．在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（)A．45°或135° B．60° C．45° D．135°10．在△ABC中,已知b=3，c=3,A=30°,则边a等于（)A．9 B．3 C．27 D．311．在△ABC中，sinA：sinB:sinC=3：2：3,则cosC的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣12．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=(）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题:13．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示．14．已知=（3,），=（1，0），则•=．15．在△ABC中,AB=3,AC=2，A=60°，则S△ABC=．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若cosA=，cosC=,a=1，则b=．三、解答题:（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知=（4，3），=（﹣1，2)．(1)求|｜；(2）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知向量，的夹角为120°,｜|=1，｜|=5．(1）求•；（2）求｜3﹣|．19．（12分）已知△ABC中，A（2，4)，B（﹣1,﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D与向量的坐标．20．（12分)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b，c，若a=3，b=4，C=60°．（1）求c的值；（2)求sinB的值．21．(12分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的最短时间．22．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

2016—2017学年北京市昌平区临川育人学校高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．下列物理量中，不能称为向量的是（)A．质量 B．速度 C．位移 D．力【考点】向量的物理背景与概念．【分析】据向量的概念进行排除,质量质量只有大小没有方向,因此质量不是向量,而速度、位移、力既有大小,又有方向，因此它们都是向量．【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量;质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．故选A．【点评】此题是个基础题．本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意知识与实际生活之间的连系．2．设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等向量 D．模相等的向量【考点】向量的模．【分析】利用正方形ABCD的中心的性质得到中心到四个顶点的距离相等，从而得到答案．【解答】解：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，故向量是模相等的向量，故选D．【点评】本题考查向量的模的定义,正方形ABCD的中心的性质，属于容易题．3．数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．3【考点】向量的模．【分析】求出线段AB的长，从而求出向量的模即可．【解答】解:数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度即||=3,故选：D．【点评】本题考查了向量求模问题，是一道基础题．4．若｜|=||且=，则四边形ABCD的形状为(）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【考点】相等向量与相反向量．【分析】由向量相等，得出四边形ABCD是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形ABCD是菱形．【解答】解：四边形ABCD中，∵=，∴BA∥CD，且BA=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；又｜|=｜|，∴平行四边形ABCD是菱形；故选:C．【点评】本题考查了向量的相等与平行四边形以及菱形的判定问题，是基础题．5．若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．(0，） B．［0，） C．（，π] D．（,π)【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．【解答】解：向量数量积•＜0，可得|||｜cos＜，＞＜0,可得cos＜，＞＜0，＜，＞∈（，π]，故选:C．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法,考查计算能力．6．已知向量=(1,m）,=(3，﹣2），且（+）⊥,则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1,m)，=（3，﹣2）,∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥,∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8,故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件,难度不大，属于基础题．7．已知向量，，若，则实数m等于(）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，,若，可得m2=4,解得m=±2．故选：C．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．8．在△ABC中,若A=30°,B=60°,b=，则a等于(）A．3 B．1 C．2 D．【考点】余弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a的值．【解答】解:△ABC中，∵A=30°,B=60°,b=,由正弦定理可得=，=，∴a=1，故选:B．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．9．在△ABC中，已知A=60°,a=，b=，则B等于（)A．45°或135° B．60° C．45° D．135°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理求出sinB===．从而由0＜B＜π即可得到B=45°或135°，又由a=＞b=，可得B＜A，从而有B,可得B=45°．【解答】解：由正弦定理知:sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=,∴B＜A,∴B∴B=45°故选：C．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．10．在△ABC中,已知b=3，c=3，A=30°，则边a等于()A．9 B．3 C．27 D．3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解:∵b=3,c=3，A=30°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a==3．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2:3，则cosC的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知比例式利用正弦定理化简,求出三边之比，表示出三边长,利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，sinA:sinB：sinC=3：2：3，∴a：b:c=3：2:3，设a=3k，b=2k，c=3k，则cosC===，故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】余弦定理的应用．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中,若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．二、填空题：13．若a表示“向东走8km",b表示“向北走8km”，则a+b表示向东北方向走8km．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用平行四边形法则求向量的和．【解答】解：｜a+b|==8(km）．故答案为：向东北方向走8km．【点评】本题考查向量的加减运算法则，是一道基础题．14．已知=（3，),=（1，0），则•=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（3，），=(1，0)，则•=3×1+×0=3．故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力，属于基础题．15．在△ABC中，AB=3，AC=2,A=60°，则S△ABC=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵AB=3，AC=2,A=60°，∴S△ABC=AB•AC•sinA==．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力,属于基础题．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,若cosA=,cosC=，a=1，则b=．【考点】解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解:由cosA=,cosC=，可得sinA===，sinC===,sinB=sin(A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用,考查运算能力，属于中档题．三、解答题：（17题10分，18—22每题12分，共70分）17．(10分)（2017春•昌平区月考）已知=(4，3），=（﹣1，2）．（1）求|｜；（2)求与的夹角的余弦值．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）根据向量模的定义即可求出（2)根据平面向量的数量积的定义解答．【解答】解：（1)∵=(﹣1，2)，∴｜|==,(2）设与的夹角为θ，∵=(4,3），=（﹣1，2），∴=4×（﹣1）+3×2=2，||==5，∴cosθ===【点评】本题考查了向量的数量积的定义以及向量模的运用求向量的夹角，属于基础题．18．(12分）（2017春•昌平区月考）已知向量,的夹角为120°，｜｜=1,｜｜=5．（1）求•；（2)求|3﹣|．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算•；(2）根据模长公式计算|3a﹣b｜．【解答】解：（1）向量，的夹角为120°，|｜=1，｜|=5；∴•=｜｜×|｜cos120°=1×5×(﹣）=﹣；（2）=9﹣6•+=9×12﹣6×(﹣）+52=49，∴｜3a﹣b|=7．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．19．(12分)（2012秋•潮阳区期末）已知△ABC中，A（2，4），B(﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证:AB⊥AC;(2）求点D与向量的坐标．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】(1）利用已知条件，求出，即可证明AB⊥AC；（2)设出点D的坐标，与，列出方程，即可求出D的坐标,即可求出向量的坐标．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分)所以，即AB⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设D(x,y)，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分）∵,∴5（x﹣2）+5（y﹣4）=0∵，∴5（x+1）﹣5（y+2）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴D（)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分)【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用,向量的数量积的应用，考查计算能力．20．（12分）(2017春•昌平区月考）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c,若a=3，b=4，C=60°．（1）求c的值；(2）求sinB的值．【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】(1）由余弦定理求得c的值；(2）由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）△ABC中,a=3，b=4，C=60°，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=32+42﹣2×3×4×cos60°=13，解得c=；（2）由正弦定理,=,∴sinB===．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．21．（12分）（2013秋•商丘期中）如图所示,我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：设我艇追上走私船所需要的