【解析】2023-2024学年初中数学七年级上册 1.2 数轴、相反数与绝对值 同步分层训练培优卷(湘教版)

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一、选择题

1．（2023·德惠模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A．B．C．D．

2．（2022·丰南模拟）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（）

A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8

C．x＜8D．x＞8

3．（2022七上·滦州期中）在数轴上，到表示-2的点7个单位长度的点所表示的数是（）

A．-9或9B．-5或5C．9或-5D．-9或5

4．（2022七上·桐乡期中）数轴上点，，分别表示数，，，下列说法正确的是

A．点一定在点的右边B．点一定在点的左边

C．点一定在点的右边D．点一定在点的左边

5．（2022七上·杭州期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（）

A．1B．3C．1或﹣1D．1或3

6．（2022七上·柯桥期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）

A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣6

7．（2022七上·柳州期中）已知，则的值是（）

A．1B．-1C．0D．-4

8．（2022七上·萧山期中）若，则的值为（）

A．0或1B．-1或0C．-1D．-2

二、填空题

9．（2022七上·北辰期中）数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是．

10．（2022七上·增城期中）化简：若，则．

11．（2022七上·峡江期末）已知m、n是两个非零有理数，则=

12．（2022七上·吉安期末）已知有理数a、b满足，则．

13．（2023七上·达州期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为.

三、解答题

14．（2023七上·姜堰月考）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a﹣b+c的值．

15．（2023七上·内江期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且，化简求值：．

四、综合题

16．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.

例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.

（1）两点表示的数如图2所示.

①求两点的“绝对距离”；

②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；

（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，，请直接写出点M表示的为.

17．（2022七上·海曙期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点.

例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点.

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2.

（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是美好点的是；写出美好点H所表示的数是.

（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？

18．（2022七上·慈溪期中）同学们都知道，表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离.如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索∶

（1）求；若，则；

（2）的最小值是；

（3）当时，的最小值是；

（4）已知则求出的最大值和最小值.

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：由图像得，，，，ABC不符合题意；

故答案为：D

【分析】根据数轴的性质即可求解。

2．【答案】B

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，

∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，

即x＜﹣8或x＞8，

故答案为：B．

【分析】由数轴上的x表示与原点的距离大于8，可得＞8，据此即可求解.

3．【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】在数轴上，距表示-2的点有7个单位长度的点所表示的数是或.

故答案为：D．

【分析】结合数轴，再利用两点之间的距离公式求解即可。

4．【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：的数值未知，

点与点，点与点的位置关系未知，

点，分别表示数，，

即点向左移动一个单位，

点一定在点的左边.

故答案为：D.

【分析】m>-1+m，据此可得点B在点C的右边，无法判断-1、-1+m与-1、m的大小关系，据此判断.

5．【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：∵A点到原点的距离是2，

∴A点表示的数是2或﹣2，

∵B点到原点的距离是1，

∴B点表示的数是1或﹣1，

∴A、B两点的距离是1或3，

故答案为：D.

【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，此题需要分点A、B都在原点的左边与都在原点的右边，点A、B一个在原点的右边，另一个在原点的左边，几种情况考虑，即可得出答案.

6．【答案】B

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：如图：

由点B，C表示的数的绝对值相等，得

原点O的位置，

∴A点表示的数是-4.

故答案为：B.

【分析】由点B、C表示的数的绝对值相等可得其中点即为原点O的位置，进而可得A点表示的数.

7．【答案】B

【知识点】绝对值的非负性

【解析】【解答】解：

故答案为：B.

【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可.

8．【答案】C

【知识点】绝对值的非负性

【解析】【解答】解：，

，

，

，异号，

当，时，，，

；

当，时，，，

；

故答案为：C.

【分析】根据已知条件可得，然后分①a>0、b0两种情况进行计算即可.

9．【答案】-2或2

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：（1）与原点距离为2个单位长度的点在原点左边时，

它表示的数是；

（2）与原点距离为2个单位长度的点在原点右边时，

它表示的数是2；

故数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是或2．

故答案为：或2．

【分析】分两种情况，再利用两点之间的距离公式求出答案即可。

10．【答案】3-x

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：，则

故答案为：3-x．

【分析】根据绝对值的性质求解即可。

11．【答案】0或2或-2

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，；

综上可知：的值为0或2或-2．

故答案为：0或2或-2．

【分析】根据题意，分类讨论，求出的值为0或2或-2，即可作答。

12．【答案】0或±2

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：因为ab≠0，若a、b同号，

当a＞0，b＞0时，=1+1=2；

当a＜0，b＜0时，=﹣1﹣1=﹣2；

若a、b异号，

当a＞0，b＜0时，=1－1=0；

当a＜0，b＞0时，=﹣1+1=0；

故答案为：±2或0．

【分析】分两种情况：①若a、b同号，②若a、b异号，再利用绝对值的性质分别求解即可。

13．【答案】2b

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值的非负性

【解析】【解答】解：由数轴知：b＞0，a＜0，|b|＞|a|

∴ab＜0，a＋b＞0.

∴

＝（ab）+（a＋b）

＝a＋b+a+b

＝2b.

故答案为：2b.

【分析】由有理数、在数轴上的位置可得b＞0，a＜0，|b|＞|a|，进而根据有理数的加减法法则判断出ab＜0，a＋b＞0，再根据绝对值的非负性和合并同类项法则计算即可求解.

14．【答案】解：根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0，

∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，

∴a＝±4，b＝±2，c＝±5，

∵c＜b＜0，a＞0，

∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，

∴a﹣b+c

＝4﹣（﹣2）+（﹣5）

＝4+2+（﹣5）

＝6+（﹣5）

＝1．

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【分析】由数轴可知c＜b＜0，a＞0，结合|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，可确定a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，然后将其代入计算即可.

15．【答案】解：根据题意得，，即

，

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【分析】由及数轴可得，，利用绝对值的性质取绝对值、合并即可.

16．【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；

②∵，，

∴，

∴，

∴或，

解得：或2，

∵C点不与O点重合，

∴点C表示的数为2或；

（2）或

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：（2）由题可知，

∴或.

∵点M在点N左侧，

故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，

∴.

∵，

∴，

∴此情况不存在；

②当M，N都在原点的右侧时，

∵，

∴，

∴此情况不存在；

③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，

∵，

∴.

∵或，

∴或，

∴点M表示的数为或.

故答案为：或.

【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；

（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.

17．【答案】（1）G；-4或-16

（2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1，

∵，，

∴，

∴秒；

第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2，

∵，，

∴，

∴秒；

第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3，

∵，，

∴，

∴秒；

综上所述，t的值为：1.5或3或9.

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：（1）根据题意得∶，

此时，故点E不是美好点；

，

此时，故点F不是美好点；

，

此时，故点G是美好点；

故答案为：G；

设点H所表示的数是x，则，

∵点H为美好点，

∴，

∴，

解得：或；

故答案为：-4或-16；

【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件；结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化；

（2）P点恰好是M和N的美好点，分类讨论：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间；第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间；第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，分别根据美好点的定义得出答案.

18．【答案】（1）5；1或-5

（2）4

（3）2；5

（4）解：，，，

，

，

，，，

，，，

的最大值为：，最小值为：，

即的最大值为7，最小值为.

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，

；

，

表示x的点与表示的点的距离为3，

，，

或.

故答案为：5，1或-5；

（2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，

当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值，

最小值为：.

故答案为：4；

（3）可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和，

当时，有最小值，最小值为：，

当时，有最小值，最小值为：，

当时，有最小值，最小值为：，

即当时，的最小值是5.

故答案为：2，5；

【分析】（1）根据数轴上表示3的点与表示2的点之间的距离为5，即可得到结论；根据数轴上与表示2的点相距3个单位的点表示的数为1或5，即可得到结论；

（2）把|x1|＋|x＋3|理解为：在数轴上表示x的点到3和1的距离之和，求出表示3和1的两点之间的距离即可；

（3）根据题中定义可知式子|x＋1|＋|x2|＋|x4|表示x到-1、2、4这三个点的距离之和，从而判断出x在点2的位置时有最小值，然后进行计算即可得解；

（4）根据绝对值的几何意义，可得|x＋1|＋|x2|的最小值是3，|y2|＋|y＋1|的最小值是3，|z3|＋|z＋1|的最小值是4，结合已知得|x＋1|＋|x2|＝3，|y2|＋|y＋1|＝3，|z3|＋|z＋1|＝4，则1≤x≤2，1≤y≤2，1≤z≤3，所以当x＝1，y＝1，z＝1时，x＋y＋z的值最小为3，当x＝2，y＝2，z＝3时，x＋y＋z的值最大为7．

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一、选择题

1．（2023·德惠模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：由图像得，，，，ABC不符合题意；

故答案为：D

【分析】根据数轴的性质即可求解。

2．（2022·丰南模拟）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（）

A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8

C．x＜8D．x＞8

【答案】B

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，

∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，

即x＜﹣8或x＞8，

故答案为：B．

【分析】由数轴上的x表示与原点的距离大于8，可得＞8，据此即可求解.

3．（2022七上·滦州期中）在数轴上，到表示-2的点7个单位长度的点所表示的数是（）

A．-9或9B．-5或5C．9或-5D．-9或5

【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】在数轴上，距表示-2的点有7个单位长度的点所表示的数是或.

故答案为：D．

【分析】结合数轴，再利用两点之间的距离公式求解即可。

4．（2022七上·桐乡期中）数轴上点，，分别表示数，，，下列说法正确的是

A．点一定在点的右边B．点一定在点的左边

C．点一定在点的右边D．点一定在点的左边

【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：的数值未知，

点与点，点与点的位置关系未知，

点，分别表示数，，

即点向左移动一个单位，

点一定在点的左边.

故答案为：D.

【分析】m>-1+m，据此可得点B在点C的右边，无法判断-1、-1+m与-1、m的大小关系，据此判断.

5．（2022七上·杭州期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（）

A．1B．3C．1或﹣1D．1或3

【答案】D

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：∵A点到原点的距离是2，

∴A点表示的数是2或﹣2，

∵B点到原点的距离是1，

∴B点表示的数是1或﹣1，

∴A、B两点的距离是1或3，

故答案为：D.

【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，此题需要分点A、B都在原点的左边与都在原点的右边，点A、B一个在原点的右边，另一个在原点的左边，几种情况考虑，即可得出答案.

6．（2022七上·柯桥期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）

A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣6

【答案】B

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：如图：

由点B，C表示的数的绝对值相等，得

原点O的位置，

∴A点表示的数是-4.

故答案为：B.

【分析】由点B、C表示的数的绝对值相等可得其中点即为原点O的位置，进而可得A点表示的数.

7．（2022七上·柳州期中）已知，则的值是（）

A．1B．-1C．0D．-4

【答案】B

【知识点】绝对值的非负性

【解析】【解答】解：

故答案为：B.

【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可.

8．（2022七上·萧山期中）若，则的值为（）

A．0或1B．-1或0C．-1D．-2

【答案】C

【知识点】绝对值的非负性

【解析】【解答】解：，

，

，

，异号，

当，时，，，

；

当，时，，，

；

故答案为：C.

【分析】根据已知条件可得，然后分①a>0、b0两种情况进行计算即可.

二、填空题

9．（2022七上·北辰期中）数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是．

【答案】-2或2

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：（1）与原点距离为2个单位长度的点在原点左边时，

它表示的数是；

（2）与原点距离为2个单位长度的点在原点右边时，

它表示的数是2；

故数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是或2．

故答案为：或2．

【分析】分两种情况，再利用两点之间的距离公式求出答案即可。

10．（2022七上·增城期中）化简：若，则．

【答案】3-x

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：，则

故答案为：3-x．

【分析】根据绝对值的性质求解即可。

11．（2022七上·峡江期末）已知m、n是两个非零有理数，则=

【答案】0或2或-2

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，；

综上可知：的值为0或2或-2．

故答案为：0或2或-2．

【分析】根据题意，分类讨论，求出的值为0或2或-2，即可作答。

12．（2022七上·吉安期末）已知有理数a、b满足，则．

【答案】0或±2

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：因为ab≠0，若a、b同号，

当a＞0，b＞0时，=1+1=2；

当a＜0，b＜0时，=﹣1﹣1=﹣2；

若a、b异号，

当a＞0，b＜0时，=1－1=0；

当a＜0，b＞0时，=﹣1+1=0；

故答案为：±2或0．

【分析】分两种情况：①若a、b同号，②若a、b异号，再利用绝对值的性质分别求解即可。

13．（2023七上·达州期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为.

【答案】2b

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值的非负性

【解析】【解答】解：由数轴知：b＞0，a＜0，|b|＞|a|

∴ab＜0，a＋b＞0.

∴

＝（ab）+（a＋b）

＝a＋b+a+b

＝2b.

故答案为：2b.

【分析】由有理数、在数轴上的位置可得b＞0，a＜0，|b|＞|a|，进而根据有理数的加减法法则判断出ab＜0，a＋b＞0，再根据绝对值的非负性和合并同类项法则计算即可求解.

三、解答题

14．（2023七上·姜堰月考）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a﹣b+c的值．

【答案】解：根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0，

∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，

∴a＝±4，b＝±2，c＝±5，

∵c＜b＜0，a＞0，

∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，

∴a﹣b+c

＝4﹣（﹣2）+（﹣5）

＝4+2+（﹣5）

＝6+（﹣5）

＝1．

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【分析】由数轴可知c＜b＜0，a＞0，结合|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，可确定a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，然后将其代入计算即可.

15．（2023七上·内江期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且，化简求值：．

【答案】解：根据题意得，，即

，

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【分析】由及数轴可得，，利用绝对值的性质取绝对值、合并即可.

四、综合题

16．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.

例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.

（1）两点表示的数如图2所示.

①求两点的“绝对距离”；

②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；

（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，，请直接写出点M表示的为.

【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；

②∵，，

∴，

∴，

∴或，

解得：或2，

∵C点不与O点重合，

∴点C表示的数为2或；

（2）或

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：（2）由题可知，

∴或.

∵点M在点N左侧，

故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，

∴.

∵，

∴，

∴此情况不存在；

②当M，N都在原点的右侧时，

∵，

∴，

∴此情况不存在；

③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，

∵，

∴.

∵或，

∴或，

∴点M表示的数为或.

故答案为：或.

【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；

（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.

17．（2022七上·海曙期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点.

例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点.

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2.

（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是美好点的是；写出美好点H所表示的数是.

（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？

【答案】（1）G；-4或-16

（2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1，

∵，，

∴，

∴秒；

第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2，

∵，，

∴，

∴秒；

第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3，

∵，，

∴，

∴秒；

综上所述，t的值为：1.5或3或9.

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：（1）根据题意得∶，

此时，故点E不是美好点；

，

此时，故点F不是美好点；

，

此时，故点G是美好点；

故答案为：G；

设点H所表示的数是x，则，

∵点H为美好点，

∴，

∴，

解得：或；

故答案为：-4或-16；

【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件；结合