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文档简介
重积分利用举例第1页一.体积求体积时应注意：1.立体由哪些曲面围成；2.体积必须是正值，如图形含有对称性，可利用对称性简化。第2页R化为球系下方程r=2Rcos
..
Mrz
0xy
=例1.求半径为R球面与半顶角为
内接锥面所围成立体体积第3页ozxy例2.第4页az=0ozxy.例2.第5页az=0故立体关于x轴对称......ozxyD0y
x.例2.a第6页2a2a0xz
ya.L联立柱面坐标用哪种坐标？例3.第7页例3.2a0xz
ya.L联立D...柱面坐标用哪种坐标？.第8页0xz
yab例4.第9页b0xz
ya
问题：2用哪种坐标系？1是不是曲顶柱体？3交线L方程？交线L...柱系..例4.V=上顶：下底：4
Dxy
?Dxy
...(球系？需分块儿!)第10页二.曲面面积如图，第11页曲面S面积元素曲面面积公式为：第12页引理
A
.普通情况，将A分割成若干个上述类型小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。当A是矩形,l证：且一边与l平行则
也是矩形,且b引理成立..a
注：这里
即两平面法矢量夹角.
证毕二.曲面面积第13页xz
y0z=f(x,y)D(xi
,yi)Pi.二.曲面面积第14页xz
y0z=f(x,y)D.(xi
,yi)
i
Ai（由引理）Pi...二.曲面面积第15页设曲面方程为：曲面面积公式为：设曲面方程为：曲面面积公式为：同理可得第16页若光滑曲面方程为隐式则第17页1.xyzo1第18页1xyzo1.1.第19页xyzo11DS.......1.第20页2.ayxzo第21页2.xyzoDS=共同D:...第22页第23页2xzy3.o第24页3.xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.o只能向xoz平面投影第25页xzy2得z=2.Dxz..3.o其中，第26页xzy2Dxz....得z=2.3.o.其中，第27页例4.
计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在
xoy
面上投影为则出面积A.第28页例5.求球面面积公式；解：依据对称性，考虑半球面积。第29页第30页解：第31页第32页解：取坐标系如图及柱面方程第33页第34页解：解方程组得两曲面交线为圆周在平面上投影域为第35页Hwp1991(3,5,7）.第36页三.物体质量第37页解：先求该物体体密度由题意且第38页Hwp1992,3(2).第39页Apr.23Mon.Review重积分应用1.几何应用：第40页2.物理应用：第41页2.物理应用：第42页四.物体质心，质量元素为第43页第44页当薄片是均匀，质心称为形心.第45页解：第46页第47页解：以球心为原点，以物体对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即第48页第49页
.xoy12例.求位于圆r=2sin
和圆r=4sin
之间均匀薄片重心
Hwp1994(2),7(2),8(2).第50页五.
物体转动惯量第51页第52页对原点转动惯量为：第53页第54页对坐标面距离平方第55页解：第56页解：第57页解：设体密度为
=k，则第58页解：第59页第60页第61页
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