2006年高中数学竞赛卷

2006年湖南省高中数学竞赛(A卷选择题(6,36分记[x表示不大于x的最大整数.

=26+42集合A={x|x2-[x]=2},B={x||x|<2}.则A∩B=( ).(A)(-2 (B)[-2,2 ,- (D){ fx(2x52x453x3-57x542006

注:原卷中选项(A)(D),这里8,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形()个.(A)1 (B)2则 111-2

= ) (C)3 (D)4(A)- (C)2 (D)2正方形各边上.t,则t的取值区间是().(A)[1,2 (B)[2,4(C)[1,3 (D)[3,61,在正方体ABCD-A1B1C1,P为棱AB上一点,过点P在空间作l,l与平面ABCD和ABC1D1均66

填空题(6,36分等差数列{an的前m90,2m项和为360.则前4m项和 ,xy∈-ππa∈R,, x3+sinx-2a=04y3+1sin2y+a=2则cos(x+2y)的值 100把椅子排成一圈,n个人坐在n个人中的一个坐在相邻的椅子上.则n的最小值为.线条数是 ) 10.在△ABC中,AB ,AC , 有一点D使得AD平分BC等腰Rt△ABC中,斜边BC= , ∠ADB是直角,比值S△ADB能写成m的形S C,另一个焦点在线段4上,且椭圆经过点AB.则该椭圆的标准方程是(焦点在x轴上4

(mn是互质的正整数).则m+n ABCD-A1B1C1D112x22x24242

33+46+6+4

===

正方体.ABCD与过顶点ABC1D1的圆上的点Q之间的 n,n次抛掷所出2n,则算过关,前3关的概率 解答题(78分(16分t,使(n+t)n+t>(1+n)3nntt 对任何正整数n恒成立?证明你的结论.(18分xyz为正实数f(x,y,z)=(1+2x)(3y+4x)(4y+3z)(2z+的最小值 (22分ABa2+

令t 111-1,则2t2+2t-55=2ft)=[(2t22t-55)(t3+t-1)-12=(-1)2006=,t4排除选项(A)(C);,可得t=2,排除选项(D.C1AB-D45°,,1(a>b>0a2

b21

同于AB的动点,且满足AP+BP=λ(AQ+BQ)(λ∈R,|λ|>1)APBPAQBQ

l2条BC42,设椭圆的另一个焦点为D.4 4k1

k 方程为a2+b2=1(a>b>0).所以求证k1+k2+k3+k40 F1F2分别为椭圆和双曲线的右,PF2∥QF1,k2+k2+k2+ (22分)将m,

|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即8424a2+2故|AD|=2a-|AC|=222|CD|2=8+16=24,c2=6,b2=a2-c2= 2如下方法安排入住A1A2,⋯Ann1间:,17

6+4

y1为所求A1,从余下的客人中安排217A2;,第几号房就安排几位客人和余下的7入住.,最后一间房间Ann位客人试求客人的数和x0∈A,排除选项(A)(Bx=-13,故选(C

解法1:,注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上,使三个顶点分别在其上,有4种方法.,在选出的三条边上各选一点73法4×731372个另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边,4种方法;再在这条边上任取21种方法;然后在其余的21个分点中任取,可得不同三角形的个数为1372+1764=3解法2:C3-4C73=3 B为“第n次过关成功”,第n次游戏中,基本事Sk=a1+a2+⋯+ak易知SmS2m-SmS3m-S2m成等差数列S3m=

1关:A12(即出现点数1和2两种情况),所以,过此关的概率为又易知S2m-SmS3m-S2mS4m-S3m成等差

=1-

=1-6

=23,S4m3S3m-3S2m+Sm18.ft)=t3+sint.ft在

π,π

2关:A2x+yaa234时的正整数解组数之和单调递增的

PB=1-

=1

62=6由原方程组可得f(x)=f(-2y)=2a又x,-2y∈-ππ,x=-2y,x2y, cosx2y)9.n,每两人中间至多有两把空椅子.,n最小.,,可得一等差数列:1,4,7,⋯,100.,10013(n-1nBCEAD=x2

3关:A3x+yz=aa345678PB=1-PA=1-56=20 ×B P×P=100×B 三、13取tn)=(11)(22)(3,3,t123时均不符合要求.t4,若n1,式①显然成立.44nn(n+1)3=nn-2(2n)2(2n+2)3由中线公式得AE 57 ≤(n-2)n+2×2n+3(2n+2)+

n+2由勾股定理得120-15+57= x,解 n2+8n+ n+=(n+4)n+4

n+n+<

n2+8n+n+

n+于是,m=AD =27

2AE 故m+n=27+38=65. 14.在取定y的情况下,有32(1+2x)(3y+4x)=8x2+(6y+4)x+332

=8x+3y+6y+xOQ

,OP32 32

+6y+4= +2)266 当且仅当x 时,上式等号成立由三角形不等式有 OQ-OP , 号当且仅当点OPQ三点共线时成立 同理,(4y+3z)(2z+1)=6z+4y+8y+ 8,PAB,OP8ABC1D1Q时满足要求

+3)212.100

当且仅当z 2y时,上式等号成立3(1+2x)(3y+4x)(4y+3z)(2z+

现的可能性是相等的Ann次过关失败”

≥(6y+2)2(8y+3)y22 +

a0=man-1=48×2 72 因为第k号客房Ak48×2=194+

ak-1-k,7

k-

-

=k+ak-1-k,即当且仅当y=1时,第二个不等式中等号成立 a=6(

-k) k-3因此,当x ,y=1,z=3时,f(x,y,z) 变形得ak+6k-36=6[ak-1+6(k-1)-36]3 1941123

bk=ak6k-36,15.(1设Px1y1)Qx2y2

q=

=a-36=m-36,

=

2x1

2b2

y6 y

n-

n-k1+k2=

+a+

-a=

2=2· n-1-36=7n- 2b2

x1-

n- 代入通项公式得7n-42=(m- 7n(n-同理,k3+k4=- y2 即m=36 6n- 2OP=AP+BP=λ(AQ+BQ)=

6n1|(n-6).OP=λOQOPQ三点共线

n-06n- <10

n>

,n

=x2

m

36-7

6位客人;k1+k2+k3+k4

30-

A22

=6位客人客房A33

2+y2=

24-

18-由OP=λOQ,得(

,y)=λ(

,y) =6位客人;客房A4入住4 =6位

=1x,

=1y 人;A5512-56位客人; λ λ

1+y1=λ2

又点P在双曲线上, 住6位客人 为了帮助全国各地中学生参加2007为了帮助全国各地中学生参加2007出了服务于全国初中数学联赛的专刊,聘请多名教练员为专刊提供模拟试题(有详细的解答),欢迎读者订购。个人订3190元(含邮费);集体订阅请与编辑部李老师联系。电话编

(欧阳新龙提供

2λ2+1 2λ2-1 a,y1 bPF2∥QF1