数学苏教版必修4互动课堂学案2.3.2平面向量的坐标运算第一课时

互动课堂疏导引导在直角坐标系xOy内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个单位基底{e1,e2}.在坐标平面xOy内，任作一向量a（用有向线段AB表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（a1,a2），使得a=a1e1+a2e2.(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标，即a=(a1,a2).a=的坐标分别过向量的始点和终点作x轴、y轴的垂线，设垂足分别为A1、B1、A2、B2.坐标分量a1为向量在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量在y轴上的坐标.显然0=（0，0），e1=(1,0),e2=(0,1).设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴的转角为θ,由三角函数的定义可知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ.在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定，设点A的坐标为（x,y）,容易看出=xe1+ye2=(x,y)即点A的位置向量的坐标（x,y），也就是点A的坐标；反之点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.（2）若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=(a1b1,a2b2)，即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.（3）若A（x1,y1）,B(x2,y2)，则=（x2x1,y2y1），即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.（4）若a=(a1,a2),λ∈R，则λa=(λa1,λa2)即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.对以上运算规则证明如下，①设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=（a1e1+a2e2）+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2即a+b=(a1+b1,a2+b2)用同样的方法可以证明：ab=(a1b1,a2b2)λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2)②已知：A（x1,y1）,B(x2,y2)则==(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1,y2y1).设线段AB两端点的坐标分别为A（x1,y1），B（x2,y2），则其中点M（x,y）的坐标计算公式为x=,y=.推导如下：设点M（x,y）是线段AB的中点，则=（+）.上式换用向量的坐标得（x,y）=［(x1,y1)+(x2,y2)］，即x=，y=.活学巧用【例1】已知作用在原点的三个力F1=（1，2），F2=（2，3），F3=（1，4），则它们的合力的坐标为________________.解析：F=F2+F2+F3=(1,2)+(2,3)+(1,4)=(2,1).答案：(2,1)【例2】若{e1,e2}为单位基底，设a=(x2+x+1)e1(x2x+1)e2，（其中x∈R），则向量a位于（）A.第一、二象限B.第二、三象限解析：a=(x2+x+1,x2+x1)x2+x+1=x2+x++=(x+)2+≥＞0x2+x1=(x2x)1=(x2x+)=(x)2≤＜0,∴a位于第四象限.答案：D【例3】在直角坐标系xOy中，向量a,b,c的方向和长度如右图所示，分别求它们的坐标.解析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，c=(c1,c2),则a1=|a|·cos45°=2×=,a2=|a|·sin45°=2×=，b1=|b|·cos120°=3×()=,b2=|b|·sin120°=3×=.c1=|c|·cos(30°)=4×=,c2=|c|·sin(30°)=4×()=2.∴a=(,),b=(,),c=(,2).【例4】设向量a,b的坐标分别是（1，2），（3，5），求a+b,ab，3a,2a+3解析：a+b=(1,2)+(3,5)=(1+3,25)=(2,3).ab=(1,2)(3,5)=(13,2+5)=(4,7).3a2a+3b=(2+9,415)=(7,11).【例5】已知点A（1,2）,B(2,8)及=,=,求点C、D和的坐标.解析：设C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)由题意可得=（x1+1,y12）,=(3,6)，=(1x2,2y2),=(3,6).∵=,=.∴(x1+1,y12