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文档简介

一、无穷限广义积分第四节广义积分二、无界函数广义积分第1页一、无穷区间广义积分例1求由曲线y=

e-x，y轴及x轴所围成开口曲边梯形面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b

[0,+)，在有限区间[0,b]上，以曲线y=

e-

x为曲边曲边梯形面积为by=

e-xyxO(0,1)第2页y=

e-xyxbO(0,1)即当b

+时，阴影部分曲边梯形面积极限就是开口曲边梯形面积，第3页定义1

设函数

f(x)在

[a,+

)上连续，取实数

b>a，假如极限则称此极限为函数

f(x)在无穷区间[a,+

)

上广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，不然称广义积分发散.第4页定义2

设函数

f(x)在

(-

,b]

上连续，取实数

a>b，假如极限则称此极限值为函数

f(x)在无穷区间(-

,b]上广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，不然称广义积分发散.第5页定义3

设函数

f(x)在

(-

,+

)

内连续，且对任意实数

c，假如广义积分则称上面两个广义函数积分之和为

f(x)在无穷区间(-

,+

)内广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，不然称广义积分发散.第6页若F(x)是f(x)一个原函数，并记则定义1，2，3中广义积分可表示为第7页例2求解例3

判断解因为当x

+时，sinx没有极限，所以广义积分发散.第8页例4

计算解

用分部积分法，得第9页例5

判断解故该积分发散.第10页例6

证实广义积分当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.证

p=1时，则所以该广义积分发散.第11页当

p>1时，综合上述，该广义积分收敛.当

p≤1时，该广义积分发散.

p

1时，则第12页二、无界函数广义积分定义4

设函数

f(x)在区间

(a,b]

上连续，取e

>0，假如极限则称此极限值为函数

f(x)在区间

(a,b]上广义积分，这时也称广义积分收敛，不然称广义积分发散.且记作即存在，第13页定义5

设函数

f(x)在区间[a,b)上连续，取e

>0，假如极限则称此极限值为函数

f(x)在区间[a,b)上广义积分.这时也称广义积分收敛，不然称广义积分发散.且即存在，第14页定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c(a,b)外连续，假如下面两个广义积分则称这两个广义积分之和为函数

f(x)在区间

[a,b]

上广义积分，这时也称广义积分收敛，不然，称广义积分发散.记作即都收敛，第15页若F(x)是f(x)一个原函数，则定义4，5，6中广义积分可表示为第16页例7

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