数学建模经典模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增加模型5.3

正规战与游击战5.4药品在体内分布与排除5.5香烟过滤嘴作用5.6人口预测和控制5.7烟雾扩散与消失5.8万有引力定律发觉第1页动态模型描述对象特征随时间(空间)演变过程.分析对象特征改变规律.预报对象特征未来性态.研究控制对象特征伎俩.依据函数及其改变率之间关系确定函数.微分方程建模依据建模目标和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程.第2页5.1传染病模型描述传染病传输过程.分析受感染人数改变规律.预报传染病高潮到来时刻.预防传染病蔓延伎俩.不是从医学角度分析各种传染病特殊机理,而是按照传输过程普通规律建立数学模型.背景与问题传染病极大危害(艾滋病、SARS、

)基本方法第3页已感染人数(病人)i(t)每个病人天天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第4页模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人百分比分别为.2）每个病人天天有效接触人数为

,且使接触健康人致病.建模

~日接触率SI模型第5页模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

Logistic模型病人能够治愈！?t=tm,di/dt最大第6页模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人天天治愈百分比为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人有效接触人数，称为接触数.mls/=第7页模型3i0i0接触数

=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染人数不超出原有病人数1-1/

i0模型2(SI模型)怎样看作模型3(SIS模型)特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0>1,i0<1-1/

i(t)按S形曲线增加接触数

(感染期内每个病人有效接触人数)i(t)单调下降第8页模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者百分比分别为.2）病人日接触率

,日治愈率

,

接触数=/建模需建立两个方程.第9页模型4SIR模型无法求出解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质(通常r(0)=r0很小)第10页模型4SIR模型数值解i(t)从初值增加到最大;t,i0.s(t)单调减;t,s0.04.设

=1,

=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB计算作图i(t),s(t)及i(s)si相轨线i(s)第11页模型4消去dtSIR模型相轨线分析相轨线定义域相轨线11si0D在D内作相轨线图形，进行分析第12页si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减

相轨线方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/

~阈值P3P4P2S0第13页模型4SIR模型预防传染病蔓延伎俩

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延条件——s0<1/

预计降低s0提升r0提升阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫忽略i0第14页模型4预防传染病蔓延伎俩降低日接触率

提升日治愈率

提升移出百分比r0以最终未感染百分比s

和病人百分比最大值im为度量指标.

1/

s0i0s

i

10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0(r0

)s

,im

s

,im

第15页模型4SIR模型被传染人数预计记被传染人数百分比x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提升阈值1/

s0-1/

=

降低被传染人数百分比x第16页传染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型3,4:描述传输过程,分析改变规律,预报高潮时刻,预防蔓延伎俩.模型4:数值计算与理论分析相结合.第17页5.2经济增加模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提升技术建立产值与资金、劳动力之间关系.研究资金与劳动力最正确分配，使投资效益最大.调整资金与劳动力增加率，使经济(生产率)增加.1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0(常数)第18页模型假设静态模型每个劳动力产值每个劳动力投资z伴随y增加而增加，但增加速度递减yg(y)01.Douglas生产函数解释含义？Douglas生产函数产值Q,资金K,劳动力L,技术f0第19页

~资金在产值中份额1-

~劳动力在产值中份额更普通道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数~单位资金创造产值~单位劳动力创造产值第20页w,r,

K/L

求资金与劳动力分配百分比K/L(每个劳动力占有资金)，使效益S最大.资金和劳动力创造效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力最正确分配（静态模型）第21页3)经济(生产率)增加条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增加,K(t),L(t)应满足条件模型假设投资增加率与产值成正比(用一定百分比扩大再生产)劳动力相对增加率为常数第22页Bernoulli方程3)经济增加条件第23页产值Q(t)增加dQ/dt>03)经济增加条件

~劳动力相对增加率第24页每个劳动力产值Z(t)=Q(t)/L(t)增加dZ/dt>03)经济增加条件劳动力增加率小于初始投资增加率第25页5.3正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争.只考虑双方兵力多少和战斗力强弱.兵力因战斗及非战斗减员而降低，因支援而增加.战斗力与射击次数及命中率相关.建模思绪和方法为用数学模型讨论社会领域实际问题提供了可借鉴示例.第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局模型.第26页普通模型每方战斗减员率取决于双方兵力和战斗力.每方非战斗减员率与本方兵力成正比.甲乙双方支援率为u(t),v(t).f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型第27页正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方兵力和战斗力双方均以正规部队作战忽略非战斗减员假设没有支援f(x,y)=

ay,a~乙方每个士兵杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率第28页0正规战争模型为判断战争结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y关系.平方律模型乙方胜第29页游击战争模型双方都用游击部队作战甲方战斗减员率还伴随甲方兵力增加而增加忽略非战斗减员假设没有支援f(x,y)=

cxy,c~乙方每个士兵杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积第30页0游击战争模型线性律模型第31页0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方兵力!设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第32页5.4药品在体内分布与排除药品进入机体形成血药浓度(单位体积血液药品量).血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计.

药品在体内吸收、分布和排除过程——药品动力学.

建立房室模型——药品动力学基本步骤.房室——机体一部分，药品在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移.本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周围室(四肢、肌肉等).第33页模型假设中心室(1)和周围室(2),容积不变.药品在房室间转移速率及向体外排除速率与该室血药浓度成正比.药品从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外.模型建立中心室周围室给药排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2转移第34页线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立第35页几个常见给药方式1.快速静脉注射t=0

瞬时注射剂量D0药品进入中心室,血药浓度马上为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件第36页2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零0

t

T药品以速率k0进入中心室第37页3.口服或肌肉注射相当于药品(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室.吸收室药量x0(t)吸收室中心室D0第38页参数预计各种给药方式下c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,,n)测得c1(ti)由较大用最小二乘法定A,

由较小用最小二乘法定B,

第39页参数预计进入中心室药品全部排除第40页建立房室模型,研究体内血药浓度改变过程,确定转移速率、排除速率等参数,为制订给药方案提供依据.机理分析确定模型形式，测试分析预计模型参数.药品在体内分布与排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非线性(一室)模型c1较小时近似于线性~一级排除过程如c1较大时近似于常数~零级排除过程第41页过滤嘴作用与它材料和长度有什么关系?人体吸入毒物量与哪些原因相关，其中什么原因影响大，什么原因影响小?模型分析分析吸烟时毒物进入人体过程，建立吸烟过程数学模型.构想一个“机器人”在经典环境下吸烟，吸烟方式和外部环境在整个过程中不变.问题5.5香烟过滤嘴作用第42页模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1.2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行数量比是a´:a,a´+a=1.3）未点燃烟草和过滤嘴对随烟雾穿行毒物(单位时间)吸收率分别是b和.4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u，v>>u.Q~吸一支烟毒物进入人体总量第43页模型建立0t=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒第44页t时刻，香烟燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第45页3)求w(ut,t)考查t内毒物密度增量(单位长度烟雾毒物被吸收部分)第46页4)计算QQ~吸一支烟毒物进入人体总量第47页结果分析烟草为何有作用?1）Q与a,M成正比，aM是毒物集中在x=l处吸入量2)~过滤嘴原因，

,l2~负指数作用是毒物集中在x=l1处吸入量3）

(r)~烟草吸收作用b,l1~线性作用第48页带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4)与另一支不带过滤嘴香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提升

-b与加长l2，效果相同.第49页香烟过滤嘴作用在基本合理简化假设下，用准确数学工具处理一个看来不易下手实际问题.引入两个基本函数：流量q(x,t)和密度w(x,t)，利用物理学守恒定律建立微分方程，结构动态模型.对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际结论.第50页背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加5.6人口预测和控制做出较准确预报建立人口数学模型第51页指数增加模型——马尔萨斯1798年提出惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加.与惯用公式一致rtextx0)(=?第52页指数增加模型应用及不足与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合.适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代.可用于短期人口增加预测.不符合19世纪后多数地域人口增加规律.不能预测较长久人口增加过程.19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)第53页阻滞增加模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数第54页dx/dtx0xmxm/2tx0x增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)指数增加模型Logistic模型应用经济领域中增加规律(耐用消费品售量).种群数量模型(鱼塘中鱼群,森林中树木).S形曲线第55页参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm.模型参数预计、检验和预报

指数增加模型阻滞增加模型由统计数据用线性最小二乘法作参数预计例：美国人口数据(百万)186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4281.4tx第56页r=0.2022/10年，x0=6.0450模型参数预计、检验和预报

指数增加模型阻滞增加模型r=0.2557/10年，xm=392.0886年实际人口计算人口(指数增加模型)计算人口(阻滞增加模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.3422.1指数增加模型阻滞增加模型第57页模型检验用模型计算年美国人口误差不到3%与实际数据(年281.4)比较=274.5模型参数预计、检验和预报

为做模型检验在参数预计时未用年实际数据模型应用加入年人口数据后重新预计模型参数r=0.2490,xm=434.0x()=306.0预报美国年人口第58页考虑年纪结构和生育模式人口模型年纪分布对于人口预测主要性.只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口发展方程F(r,t)~人口分布函数(年纪<r人口)p(r,t)~人口密度函数N(t)~人口总数rm()~最高年纪第59页人口发展方程一阶偏微分方程第60页人口发展方程0tr定解条件已知函数(人口调查)生育率(控制伎俩)第61页生育率f(t)

分解

~总和生育率h~生育模式0第62页人口控制系统~总和生育率——控制生育多少~生育模式——控制生育早晚和疏密正反馈系统滞后作用很大输入输入输出反馈第63页人口指数1）人口总数2）平均年纪3）平均寿命t时刻出生人，死亡率按

(r,t)计算平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制

(t)不过高第64页5.7烟雾扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四面扩散，形成圆形不透光区域.不透光区域不停扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最终烟雾消失.建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各原因关系.问题分析无穷空间由瞬时点源造成扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度改变.观察到烟雾消失与烟雾对光线吸收、以及仪器对明暗灵敏程度相关.第65页模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风影响；扩散服从扩散定律.2）光线穿过烟雾时光强相对降低与烟雾浓度成正比；无烟雾大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定.模型建立1）烟雾浓度改变规律扩散定律：单位时间经过单位法向面积流量q与浓度C梯度成正比.

第66页曲面积分奥氏公式1）烟雾浓度改变规律微分形式，并利用积分中值定理第67页初始条件Q~炮弹释放烟雾总量

~单位强度