保定市徐水一中高二上学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4:7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．802．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（)A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1每正面和恰好有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面3．如果命题“p且q”是假命题，“非p"是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题4．已知命题P：∃x0∈R,x02+2x0+2≤0，则￢p是(）A．∃x0∈R,x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R,x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥05．椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0,1），则其离心率为（）A．2 B． C． D．6．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（）A．2+3 B．﹣3 C．+3 D．﹣37．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为()A．4条 B．3条 C．2条 D．1条9．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且其渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．10．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3,则输出的M=(）A． B． C． D．11．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点,Q是直线x=﹣3上的动点,则|PQ｜的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．212．已知双曲线E:=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0)，过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N(﹣12，﹣15），则E的方程为（）A． B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题样本中共有五个个体，其值分别为a,0，1，2，3．若该样本的平均值为1,则样本方差为．14．已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=．15．已知点，点P（x0，y0)为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为．16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．(10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程(k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真,p∧q为假,求实数k的取值范围．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．(1）求图中a的值;（2）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数（y)之比如表所示，求数学成绩在=×10=2故答案为：2【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．14．已知圆O：x2+y2=5,直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d,根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．【解答】解：由圆的方程得到圆心O(0,0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜,且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式,弄清题意是解本题的关键．15．已知点,点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义得到y0+|PQ｜=d﹣1+|PQ｜=｜PF｜+|PQ|﹣1≥｜FQ｜﹣1=2,从而得到答案．【解答】解：用抛物线的定义：焦点F（0，1),准线y=﹣1,设P到准线的距离为dy0+|PQ|=d﹣1+|PQ｜=|PF|+｜PQ｜﹣1≥|FQ｜﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y0+|PQ｜的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，是一道中档题．16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象,从而求出k的范围．【解答】解:解:设y=f（x）=,（y≥0,﹣1≤x≤1）；即x2+y2=1（半圆），y=h（x)=kx+2(x∈R)即y﹣2=kx，直线恒过点M（0,2)，∵方程f(x）=h（x)有两个不同的实数根,(k＞0）即y=f（x）和y=h(x）有两个不同的交点，画出f（x)，h(x)的图象，如图示：,当直线与圆相切时，k=±，当直线过(0，2），（﹣1，0)时，k=±2，∴﹣2≤k＜﹣或＜k≤2,故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，是一道中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（10分)(2016秋•徐水县校级期中）已知命题p:方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q:方程（k﹣1）x2+（k﹣3)y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据椭圆和双曲线的方程求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即2＜k＜4；…（2分）当q为真时,（k﹣1）(k﹣3）＜0,即1＜k＜3；…若p∨q为真，p∧q为假，则p和q有且只有一个为真命题，则（1)若p为真q为假，则，即3≤k＜4；…（7分）（2）q为真p为假，则，即1＜k≤2；…（9分）∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．18．(12分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．（1）求图中a的值;(2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;（3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x)与数学成绩相应分数段的人数（y)之比如表所示，求数学成绩在［50，90）之外的人数．分数段[50，60)［60,70）[70,80）[80，90）x:y1：12：13:44：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图;众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0。03+0.04）=1，解方程即可得到a的值;（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0。05+65×0.4+75×0.3+85×0。2+95×0。05，计算出结果即得;（3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在［50,90)之外的人数．【解答】解:（1)依题意得，10(2a+0.02+0。03+0。04)=1,解得a=0.005;（2）这100名学生语文成绩的平均分为:55×0。05+65×0。4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；(3）数学成绩在[50，60)的人数为:100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：,数学成绩在［70,80)的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在［50,90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．（12分)（2010春•海淀区期末）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意设出圆的标准方程,圆c关于y轴对称,经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2,写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径．【解答】解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1,0）∴1+a2=r2①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1)2=2【点评】本题考查求圆的标准方程，在题目中有一个条件一定要注意，即圆c关于y轴对称，这说明圆心在y轴上，设方程的时候,要引起注意．20．（12分）（2015秋•咸阳期末）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；(2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1)由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b=．即可得出．（2)设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是(x0,y0），利用中点坐标公式可得，即由于点P在椭圆上,代入椭圆方程即可．【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b==1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为．（2）设线段PA的中点为M(x，y），点P的坐标是（x0，y0），由,得∵点P在椭圆上，得，∴线段PA中点M的轨迹方程是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、“代点法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．21．(12分）（2015秋•高安市校级期末）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0．（1）求m的取值范围；（2)若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点,求实数m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可；(2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）,由题意得OP、OQ所在直线互相垂直,即kOP•kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0,根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；【解答】解:（1)将圆的方程化为标准方程为:,依题意得：,即m＜,故m的取值范围为（﹣∞,)；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）,由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOP•kOQ=﹣1,即,所以x1x2+y1y2=0,又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，所以(3﹣2y1）(3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，将直线l的方程：x=3﹣2y代入圆的方程得:5y2﹣20y+12+m=0,所以y1+y2=4，，代入①式得:，解得m=3，故实数m的值为3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属中档题,解决本题(2）问的关键是正确理解“以PQ为直径的圆恰过坐标原点”的含义并准确转化．22．（12分）（2014•河西区三模)已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2)，记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明:k12+k22﹣2k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y,得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A,B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1,y2，得到k和x的关系式,将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解:将y=kx