第04讲幂函数与二次函数（原卷版）

第04讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．3．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称一．幂函数及其图象和性质例1．（1）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【复习指导】：判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．（2）下列命题中正确的是（

）A．当时，函数的图像是一条直线；B．幂函数的图像都经过和点；C．幂函数的定义域为；D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．（3）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．（4）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(

)A． B．C． D．（5）（多选）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则（6）若，试求的取值范围.【复习指导】：(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．二．比较幂值的大小例2．（1）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．（2）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．（3）已知，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a（4）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．（5）比较下列各组中两个幂的值的大小：=1\*GB3①，；=2\*GB3②，；=3\*GB3③，；=4\*GB3④，.【复习指导】：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点：指数不变，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键，另外特别要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．三．求二次函数的解析式例3．（1）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线相切，则满足上述条件的二次函数可以为_______.（2）已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.（3）已知二次函数f

(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝______.（4）二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.（5）已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式.【复习指导】：求二次函数解析式的方法四．二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例4．（1）已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（

）A．B．C．D．（2）在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．（3）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．（4）已知函数，若关于的不等式的解集为，则（）A． B．C． D．命题点2二次函数的单调性例5．（1）已知函数f（x）=x2kx6在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A． B．C． D．（2）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．（3）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．（4）已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．（5）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________．命题点3二次函数的值域、最值例6．（1）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.（3）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是_________．（4）若函数的定义域和值域均为，则的值为____.（5）已知，，对任意的，存在，使得，则的取值范围是____（6）已知，求的最小值与最大值．（7）已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.=1\*GB3①求f(x)在区间上的最大值g(a)；=2\*GB3②已知，求的值【复习指导】：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．命题点4二次函数的恒成立问题例7．（1）已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．（2）若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．（3）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（4）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.（5）已知.=1\*GB3①不等式恒成立，求实数a的取值范围；=2\*GB3②若不等式有解，求实数a的取值范围.【复习指导】：=1\*GB2⑴有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.=2\*GB2⑵能成立问题可以转化为>ymin或<ymax的形式，求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．1．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①

②

③

④A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④2．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．23．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．4．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．5．不等式的解为（）A． B． C． D．6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a7．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A．B．C．D．8．已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．9．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<c100.8,，log4.2,log0.5的大小关系为（

）>log>log>log4.2>logC．log>log>log0.5>log11．若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．12．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A．B．C．D．13．设，二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．14．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．15．函数的单调递增区间是()A． B．和C．和 D．和16．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．17．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．18．已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．19．已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．20．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．21．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．22．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．23．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)等于()A．0B．1C．eq\f(1,2)D．225．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（

）A． B． C． D．26．（多选）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（

）A．且 B．且C．且 D．以上都可能27．（多选）已知幂函数，则下列结论正确的有（

）A．B．的定义域是C．是偶函数D．不等式的解集是28．（多选）函数与在同一坐标系中的图像可能为（

）A． B． C． D．29．（多选）若函数的值域是，则实数的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．930．幂函数y=（m2m5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.31．已知函数是二次函数，则________，此时函数的值域为________．32．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.33．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.34．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．35．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__.36．函数的值域是________.37．已知，当时，其值域是________38．函数的值域为_______39．若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.40．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），.41．比较下列各组数的大小：（1），；（2），；（3），，.42．已知二次函数．(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．43．已知函数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.44．已知关于的不等式.（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范围；（3）若不等式