2022学年度高二年级下册数学期末考试卷（综合卷）

2022学年度高二下数学期末考试检测卷（综合）

命题人：青天审题人：青天

一、单选题

1.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择

2种，不同的选法种数有（）

A.200B.400C.100D.300

2.中国古代的“礼、乐、射、御、书、数''合称"六艺某校国学社开展“六艺”课程讲座

活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，

且“射''和"御’'两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

3.我国中医药选出的“三药三方'’对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分

别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒

方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方''中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少

有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）

A.B.C.D.

4.在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学

生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢：女生中40%

表示喜欢该学科，其余表示不喜欢.若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，

则可以推测N的最小值为（）

附,

0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

A.400B.300C.200D.100

5.已知随机变量X服从二项分布，且,，则（）

A.3B.6C.9D.12

6.某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4

名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派

方案数为（）

A.350B.500C.550D.700

7.已知函数.若函数恰有3个零点，则实数。的取值范围是（）

A.B.C.D.

8.已知函数，，若，则的最小值是（）

A.B.0C.D.

9.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁

相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

10.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A.B.C.D.

11.若Rx尸上是减函数，则b的取值范围是

A.[-1,+oo）B.（-1,+oo）C.(-00,-1]D.(-co,-1)

12.已知函数无最小值，则的取值范围是（

A.B.C.D.

13.二项式的展开式中的项的系数为（）

A.240B.80C.D.

14.对四组数据进行统计，获得如图所示的背:点图，关于其相关系数的比较，正确的是

（）

A.B.

C.D.

15.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白

球个数的数学期望是（）

A.B.C.D.

16.已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为（）

A.,B.>C.,D.,

17.已知一元二次方程的两个实根为，且，则的取值范围是

A.B.C.D.

二、多选题

18.为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，

试卷第2页，共6页

三地参加防控工作，下列选项正确的是（）

A.若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法

B.共有64种不同的安排方法

C.若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法

D.若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一

辆，则共有171种不同的安排方法

19.设函数，，则下列说法正确的有（）

A.不等式的解集为；

B.函数在单调递增，在单调递减；

C.当时，总有恒成立；

D.若函数有两个极值点，则实数

20.在的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是20B.第4项的二项式系数最大

C.第3项是D.所有项的系数的和为0

21.目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防.装疫苗的玻璃瓶用的

不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系

数）.某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从

正态分布，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布，则下列选项正确的是（）

附：若随机变量，则.

A.甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在的概率约为0.6827

B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合

标准的概率更大

D.乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等

22.已知函数，则（）

A.在单调递增

B.有两个零点

C.曲线在点处切线的斜率为

D.是偶函数

23.设随机变量，则下列说法正确的有（）

A.B.

C.X的数学期望D.X的方差

24.18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当〃比

较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标

准正态分布（且）.当时，对任意实数x,记，则（）

A.B.当时，

C.随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D.随机变量，当都增大时，概率单

调增大

25.一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋

内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的

有（）

A.若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽

到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为

B.口袋内有一3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变

量，且

C.若随机变量，且，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍

D.随机变量,，若，，则

三、填空题

26.已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是

27.已知变量歹与x线性相关，利用样本数据求得回归方程为，若该方程在样本点和处

的随机误差互为相反数，则.

28.某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女

生的人数，则

29.有三个袋子，1号袋子中装有2个红球、1个黑球，2号袋子中装有3个红球、1个

黑球，3号袋子中装有2个红球、2个黑球.现从中随机取一个袋子，再在该袋子中随机

取出一个球，则取得的球是黑球的概率是.

30.若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，.若今年

该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过亿元.

31.某人投篮命中的概率为0.3,投篮15次，最有可能命中次.

四、解答题

32.已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项.

（1）求展开式的第2项；

（2）若的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求。的值.

试卷第4页，共6页

33.已知函数在与处都取得极值.

(1)求，的值；

(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

34.从中任取个数，从中任取个数，

(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？

(2)若将(1)中所有个位是的四位数从小到大排成一列，则第个数是多少？

35.已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对,，不等式恒成立，求实数加的取值范围.

36.已知函数.

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求。的取值范围.

37.已知函数，.

(1)若在定义域上单调递减，求的取值范围；

(2)若，，证明：当时，.

38.已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

39.已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

40.已知函数，其导函数为.

(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：

(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.

41.已知函数，.

(1)若点为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值:

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

42.函数.

(1)若为的极值点，求实数；

(2)若在上恒成立，求实数的范围.

43.已知函数有两个极值点.

(1)求a的取值范围.

(2)证明：.

44.已知函数，其导函数为.

(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围:

(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用分步乘法计数原理、组合列式计算作答.

【详解】

从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有种方法,

由分步乘法计数原理得：（种）

所以不同的选法种数是200.

故选：A

2.C

【解析】

【分析】

先排“数”，然后排"射''和"御"，再排剩下的三门，由此计算出正确答案.

【详解】

先排“数”，然后排“射”和“御”，方法有种，

再排剩下的三门，方法数有种，

故总的方法数有种.

故选:C

3.D

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式求出和，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】

依题意，，

所以.

故选：D

4.B

【解析】

【分析】

答案第1页，共25页

根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.

【详解】

由题可知，男女各人，列联表如下：

喜欢不喜欢总计

男30m20m50m

女20m30m50m

总计50m50m100m

有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关,

,解得，

故选：B

5.D

【解析】

【分析】

根据二项分布的均值与方差公式列方程组求解.

【详解】

由题意，解得.

故选：D

6.C

【解析】

【分析】

根据分类和分步计数原理即可求得.

【详解】

所选医生中只有一名男主任医师的选法有，

答案第2页，共25页

所选医生中只有一名女主任医师的选法有，

所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，

故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，

故选：C

7.D

【解析】

【分析】

由分离常数，结合导数研究的图象与性质，从而求得的取值范围.

【详解】

依题意，函数恰有3个零点，

由，

即与有个交点.

对于函数，

当时，，

所以在区间递增：

在区间递减.

当时，，

所以在区间递减；

在区间递增.

,当时，.

所以

所以的取值范围是.

故选：D

8.A

【解析】

【分析】

根据题意分析可得，则，构建函数利用导数求最小值.

【详解】

答案第3页，共25页

□,即，可得

□

令，则

令，则

〕在上单调递减，在单调递增，则

故选：A.

9.B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排

列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,

有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式,故安排这5名同学共有：

种不同的排列方式，

故选：B

10.D

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

11.C

【解析】

【详解】

由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故C为正确答案.

12.D

答案第4页，共25页

【解析】

【分析】

利用导数研究函数的性质，作出函数函数与直线的图象，利用数形结合即得.

【详解】

对于函数，

可得，

由，得或，由，得，

□函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

匚函数在时有极大值2,在时有极小值，

作出函数与直线的图象，

由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.

故选：D.

13.C

【解析】

【分析】

写出二项式的展开式，从而可得的展开式中的系数.

【详解】

因为二项式的展开式为:，

所以的展开式中含的项为，

则的系数为，

故选：C.

答案第5页，共25页

14.A

【解析】

【分析】

根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关

系数的大小

【详解】

解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，

困1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1,

所以，

故选：A

15.B

【解析】

【分析】

根据给定条件，白球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答.

【详解】

依题意，取出3球中白球个数X为随机变量，，X服从超几何分布，

所以白球个数的数学期望是.

故选：B

16.B

【解析】

【分析】

利用分离参数思想分离出，结合重要不等式，将看成一个整体即可得结果.

【详解】

由题意可知，分离参数，令，

由题意可知，，由，

又，当时等号成立，

所以，当时等号成立，

由，令，，易知在上单增，在单减，

所以，所以方程有解.

所以，

答案第6页，共25页

故选：B.

17.A

【解析】

【分析】

由题设构造函数，由题设有，画出可行域，借助图形的直观可知：区域内的动点与坐标原点

连线的斜率，即可求得答案.

【详解】

由题设构造函数，

由题设有，

由题设有，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域如图，

2a+b+3=0。+6+1=°

借助图形的直观可知：区域内的动点与坐标原点连线的斜率满足，

即，

故选：A.

【点睛】

本题将二次函数二次方程简单线性规划等有关知识有机地整合在一起，旨在综合考查学生对

二次函数的图像、一元二次方程的根与系数的关系、简单线性规划等基础知识与基本方法的

综合运用，以及运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.

18.AD

【解析】

【分析】

对于A,若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，再将4人安排到这两个地方即

可；对于B,安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方

答案第7页，共25页

法求解；对于C,将4人分为3组，分甲乙在同一组和甲乙不在同一组讨论求解；对于D,

将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板求解.

【详解】

对于A,若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有

种选取方法，A正确；

对于B,安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，

则有种安排方法，B错误：

对于C,根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在

的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有利情况，此时有种安排方法；

若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地,

甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法；则一共有种安排方法，C错

误；

对于D,只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车

分为3组，依次对应,，三地即可，有种安排方法；

故选：AD.

【点睛】

本题考查排列组合的应用以及分步、分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，

属于中档题.

19.ACD

【解析】

【分析】

A选项，解不等式即可；B选项，求导，利用导函数研究其单调性；C选项，构造函数，二

次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D选项，转化为在有两个根，求导后结合单

调性，极值等求出的取值范围.

【详解】

由题意得，则

对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；

对于B：,令，解得x=l,

所以当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，故B错误；

答案第8页，共25页

对于C：当时，若，则，

所以,即，

令，

则，

当时，，函数为增函数，

又，所以在是恒成立，

所以为减函数，

又，所以在是恒成立，

所以当时，总有恒成立，故C正确；

对于D：若函数有两个极值点，

则有两个根，即在有两个根，

令，则，

所以当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

又当时，，当时，，，

所以，解得，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通

过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.

20.BD

【解析】

【分析】

对于A：直接求常数项，即可判断；对于B：利用二项式系数的性质直接判断；对于C：求

出第3项，即可判断；对于D：用赋值法，令，直接计算.

【详解】

解：的展开式的通项公式为，

所以对于A选项，当，即时，常数项为，故A选项错误；

对于B选项，由于，故最大的二项式系数为，是第四项的二项式系数，故B选项正确；

答案第9页，共25页

对于C选项，第3项是，故C选项错误；

对于D选项，令，贝IJ,故所有项的系数的和为0,故D选项正确.

故选：BD

21.AC

【解析】

【分析】

由题知甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布知，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系

数服从正态分布，进而根据正态分布的对称性和原则依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：由甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布知，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系

数服从正态分布，

对于A选项，所以，即甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在的概率约为0.6827,故A选项正

确；

对于B选项，由于，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B选项错误；

对于C选项，对于甲生产线，，

,显然，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C选项正确；

对于D选项，，，故D选项错误.

故选：AC

22.AC

【解析】

根据函数的定义域可判断D,利用函数的导数的正负可判断A,利用导数的几何意义可判断

C,根据函数值的情况及零点定义可判断B.

【详解】

由知函数的定义域为，

当时，，，

故在单调递增，A正确；

由，当时，，

当，所以只有0—个零点，B错误；

令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；

答案第10页，共25页

由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线

的斜率，属于中档题.

23.ACD

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合"次独立重复试验的概率公式，以及期望和方差公式，即可求解.

【详解】

口随机变量

□,故A正确.

,，故B错误.

X的数学期望，故C正确.

X的方差，故D正确.

故选：ACD.

24.AC

【解析】

【分析】

根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由可推得其结果为，判断B;根据正态分布的准则可

判断C,D.

【详解】

对于A,根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；

对于B,当时，

,故B错误；

对于C,D,根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，

即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826,是常数，

故由可知，C正确，D错误，

故选：AC

答案第11页，共25页

25.ACD

【解析】

【分析】

A.直接列出概率，判断选项；B.利用二项分布的方差公式，判断选项；C.利用超几何分布的

期望公式判断选项；D.利用二项分布概率公式计算，再利用正态分布的对称性判断.

【详解】

对于A,,正确；

对于B,,错误；

对于C,有，则，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确；

对于D,有，得，所以，正确；

故选：ACD.

26.

【解析】

【分析】

由得出且，令，再结合导数得出其最值，进而得出实数的取值范围.

【详解】

由题意知，所以，则且，令，，由，可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可求得，同

理可得，所以恒成立，即.

故答案为：

27.0.6##

【解析】

【分析】

将已知样本点代入回归方程，求得相应估计值，进而算出随机误差，再利用随机误差互为相

反数即可得解.

【详解】

解：回归方程在样本点处的估计值为：

,随机误差为：，

回归方程在样本点处的估计值为：

,随机误差为：，

因为与互为相反数，所以，

答案第12页，共25页

解得0.6.

故答案为：06

28.

【解析】

由超几何分布概率公式运算即可得解.

【详解】

由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动,

选出女生的人数为2的概率.

故答案为：.

29.

【解析】

【分析】

根据全概率公式计算机可得出答案.

【详解】

记事件为取到第号袋子，事件为取到黑球，所以

故答案为：.

30.10

【解析】

【分析】

利用利用线性回归方程求解即可

【详解】

解：由题意得财政收入x与支出y满足线性回归方程为，其中，

当时，，

因为，所以，

所以今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过10亿元,

故答案为：10

31.4

【解析】

答案第13页，共25页

【分析】

易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.

【详解】

投篮命中次数，

设最有可能命中次，则

最有可能命中4次.

故答案为：4.

32.(1)；(2)

【解析】

(1)由可推出，从而可推出常数项为，从而可求得，进而求出答案；

(2)展开式中二项式系数最大的项是中间项，从而有，从而得出结论.

【详解】

解：(1)由得,，

令为常数项，则，

，常数项.

又展开式的各项系数之和等于，

由题意得.，

展开式的第二项为；

(2)由二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项是中间项，

，・

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

33.(1)；

(2).

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.

(2)求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.

答案第14页，共25页

(1)

由求导得：，

依题意，，解得，此时，，

当或时，，当时，，即，是函数的极值点，

所以.

(2)

由(1)知，，令,，

由(1)知，在，上单调递增，在上单调递减，

当时，取极大值，当时,，取极小值，

因方程有三个实数根，则函数有三个零点，

于是得，解得，

所以实数的取值范围是.

34.(1)1260;(2)7205.

【解析】

【分析】

(1)需要分两类:第一类，不选0时;第二类，选0时，根据分类计数原理可得；

(2)先分5种情况，形如丁lxx5",CJ"2xx5",EI"3xx5”,Er4xx5",cr6xx5”,再寻找规律，问题得

以解决.

【详解】

解：(1)不选0时,有个;选0时,0不能排在首位,，根据分类计数原理，共有720+540=1260个

四位数.

(2)U，lxx5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选排，有个；

□l42xx5",中间所缺的两数是奇偶数各一个,有个；

□“3xx5”,仿“lxx5”,也有个；

□lt4xx5",仿"2XX5”,也有个；

□“6xx5”也有个；

即小于7000的数共有96个，故第97个数是7025,第98个数是7045,第99个数是7065,

第100个数是7205.

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理，关键是分类，要不重不漏，属于中档题.

答案第15页，共25页

35.(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求解；(2)不等式恒成立等价于恒成

立，即，构造函数，求出其最大值即可得到的取值范围.

(1)

当时，，，

则,，

所以曲线在点处的切线方程为.

(2)

,令得或，

□,所以，

当时，，所以函数在上单调递减，

贝U,,

口对，不等式恒成立，

□,

即对恒成立，

令，则函数在上单调递增，

所以只需.所以.

【点睛】

关键点：(1)关键是应用导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解切线方程；(2)关键是

通过函数的最大、最小值去掉不等式中的绝对值符号，转化为，即，构造函数，求出其最大

值即可得到的取值范围.

36.(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.

答案第16页，共25页

(1)

当时,,则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

(2)

,贝”，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上,，单调递减；

又，

由(1)得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上,，单调递减；此时，

由(1)得当时，，，所以，

此时

存在，使得，

所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，〃的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为

函数的单调性与极值的问题.

答案第17页，共25页

37.⑴

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)分析可知对任意的，恒成立，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围;

(2)将所证不等式变形为，令，其中，利用导数求得，即可证得结论成立.

(1)

解：函数的定义域为，.

由题意可知，对任意的，恒成立，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.

(2)

证明：当时，，要证，即证，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，则，

因此，当时，，对任意的，.

38.(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)利用二项展开式中二项式系数的性质列方程即可求得«的值；

(2)根据题意列出不等式组，解之即可得到展开式中系数最大的项.

(1)

由题意可得,即，则.

(2)

展开式的通项为，

设展开式的第项的系数最大，则

解得，所以.

所以展开式中系数最大的项为.

答案第18页，共25页

39.(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

(2)根据(1)的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围.

(1)

已知函数，定义域为，

□当时，,

X

十0-0十

递增极大值递减极小值递增

在上单调递增，在上单调递减;

□当时，，函数在单调递增；

□当时，，

X

+0-0+

递增极大值递减极小值递增

在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减;

时，在单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

若存在，使得成立，即使得.

答案第19页，共25页

由(1),可知当时，在上单调递增，,

不满足；

当时，

X

-0+

递减极小值递增

,所以，即，

令，口，

□在上单调递减，

又口，由，得.

综上，实数。的取值范围为.

40.(1)；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)分离参数，将问题转化为在上恒成立，根据的单调性，即可求得参数的范围；

(2)对函数进行求导，通过三次求导，判断出函数的单调性，结合零点存在性定理，即可

判断函数的零点个数.

【详解】

(1),

由题意得：在上恒成立即在上恒成立，

由于函数在上单调递减，所以，，

所以.

(2)当时，.

设，贝I,

令，

则，所以在上单调递减，

又，，

答案第20页，共25页

故存在，使得，

当时，，即，在上单调递增；

当时，，即，在上单调递减；

又,，，

所以在和上各有一个零点，

从而在上有且仅有两个零点.

【点睛】

本题考查根据不等式的恒成立求参数取值范围、证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、

转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.

41.(1)；(2).

【解析】

【分析】

(1)根据题意可得出，