数学人教B版选修2-2课堂探究2.2.1综合法与分析法

课堂探究探究一综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝3，求证：a2＋b2＋c2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝9，即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝9.又因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，于是2(ab＋bc＋ca)≤2(a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝9，故a2＋b2＋c2≥3.【典型例题2】在△ABC中，A，B，C对应的边为a，b，c，证明：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以a2－b2＝c2－2bccosA，所以左边＝eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(c2－2bccosA,c2)＝1－eq\f(2bcosA,c).又由正弦定理知eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，所以左边＝1－2·eq\f(sinB,sinC)cosA＝eq\f(sinC－2sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinA＋B－2sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－2sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA－B,sinC)＝右边，故原等式成立．探究二分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】已知函数f(x)＝x2＋3，若a＞b＞0，求证：eq\f(fa＋fb,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))).思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明eq\f(fa＋fb,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即证eq\f(1,2)[(a2＋3)＋(b2＋3)]＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＋3，只需证a2＋b2＋6＞eq\f(a＋b2,2)＋6，只需证a2＋b2＞eq\f(a＋b2,2)，因此只需证2a2＋2b2＞a2＋2ab＋b2即证a2＋b2＞2ab，只需证(a－b)2＞0，由于a＞b＞0，所以(a－b)2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且4sin2α－2sin2β＝：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β).思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明．证明：要证eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)，只需证eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β))))，只需证eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1,2)·eq\f(cos2β－sin2β,cos2β＋sin2β)，只需证cos2α－sin2α＝eq\f(1,2)(cos2β－sin2β)，只需证1－2sin2α＝eq\f(1,2)(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.由于已知4sin2α－2sin2β＝1成立，所以原等式成立．探究三综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a，b，c之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))∴x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，从而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥eq\r(b＋1c＋1)，即证a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，也就是证2a≥b＋c.因为2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，则只需证eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成立即可，即b3＋c3＝(b＋c