等式性质与不等式性质（第2课时）导学案

2.1等式性质与不等式性质（第2课时）导学案【学习目标】1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.【自主学习】一．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二．不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b

a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c

b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒

_______a>b，c<0⇒

_______c的符号5同向可加性a>b，c>d⇒

___________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒

________同向7可乘方性a>b>0⇒an

bn(n∈N，n≥2)同正答案：<>ac>bcac>bca＋c>b＋da＋c>b＋d>【当堂达标基础练】1.已知a＞b＞0，c＜0，求证：ca证明：∵a>b>0∴ab>0于是，a即1由c<0,得ca2.用不等号“>”或“>”填空：（1）如果a>b，c<d，那么a-cb-d；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么acbd；（3）如果a>b>0，那么1a2（4）如果a>b>c>0，那么cac答案：＞＜＜＜【当堂达标提升练】1.若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1【答案】A解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β∵α<β，故知－2<α－β<0.2.(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下面四个不等式成立的有（）

A.|a|>|b| B.a<bC.a＋b<ab D.a3>b3【答案】CD解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确.3.若8<x<10，2<y<4，则eq\f(x,y)的取值范围为________.【答案】2<eq\f(x,y)<5解析：∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.a，b，c，给出下列命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若a<b<0，则a2>ab>b2；③若a>b，则a2>b2；④若a<b<0，则eq\f(a,b)>eq\f(b,a).其中正确命题的序号是________．【答案】②④解析：对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；对于②，a<b<0⇒a2>ab；a<b<0⇒ab>b2，∴②正确；对于③，若0>a>b，则a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2.又∵ab>0，∴eq\f(1,ab)>0，∴a2·eq\f(1,ab)>b2·eq\f(1,ab)，∴eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，④正确．5.已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.6．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).7.证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．解：(1)，,(2)，,又，.8.已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝eq\f(x＋y,2)，b＝eq\f(x－y,2)，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2)，∴－2≤eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y≤10.即－2≤3a－2b≤10.9.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq\f(a,b)的取值范围.解：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(6,3)，即eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<210.已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围.(1)x＋y;(2)x－3y;(3)eq\f(x,x－3y)．解：(1)因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.(2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6.(3)因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－eq\f(1,6)＜eq\f(1,x－3y)＜－eq\f(1,42)，所以0＜eq\f(1,42)＜－eq\f(1,x－3y)＜eq\f(1,6)，所以eq\f(30,42)＜－eq\f(x,x－3y)＜eq\f(42,6)，故－eq\f(42,6)＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(30,42)，得－7＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(5,7).【当堂达标素养练】1．（1）设，，．试比较P与Q的大小．（2）已知，，求证：．【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）方法一

证明：∵，∴，∴又，∴．方法二

证明：∵，，∴，∴又，∴，∴，即.2．（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．【详解】解：（1），当时，，故，当时，，故，当时，，故；（2）①证明：且，，，，两边取倒数得，又，，从而得证．②且，，所以，，因为，所以，即，所以，即，综上，.3.已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式(3)