北师大版九年级数学下册 （圆内接正多边形）圆教育教学课件

3.8圆内接正多边形

复习旧知正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形.三条边相等，三个角也相等（60°）.四条边都相等，四个角也相等（90°）.情景导入观看下面这些美丽的图案,都是在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?探究新知

顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.新知讲解怎样由圆得到多边形呢？定义：把一个圆n等分（n≥3），依次连结各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.探究新知外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每一条边所对的圆心角正多边形的中心角弦心距正多边形的边心距OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角BCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形探究新知EFCD.中心角边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为l=na.a

ABGO归纳正n边形的一个内角的度数是______________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等

典例精析例如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.OABCDEGF典例精析

OABCDEG

F做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为

，所以正六边形的边长与圆的半径

.因此，在半径为R的圆上依次截取等于

的弦，即可将圆六等分.60º相等R做一做方法（减少累积误差）：作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.OFCAEBD典例精析例、

用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD内接于⊙O.O练一练你能简单说明下如何用尺规做出两条垂直的直径吗？作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是90°，所以AB=BC=CD=DA.因为AC，BD都是直径，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.OACBD课堂练习

BB课堂练习3.已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为

cm.184.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要___

_cm.

课堂练习5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.BAC解:设这个正三角形的中心为点O，连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，则∠BOC=360°÷3=120°，∴∠BOH=60°.在Rt△BOH中，

OH

课堂小结圆内接正多边形正多边形和圆的关系正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正n边形各顶点等分其外接圆.第三章圆3.8圆内接正多边形

学习目标1.掌握正多边形和圆的关系；2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点)3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（难点）4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.新课导入问题1：

观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？特点：各边相等，各内角都相等的多边形.问题2：

观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.三条边相等，三个角也相等（60°）.四条边都相等，四个角也相等（90°）.各边相等各角也相等知识讲解怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？

怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？EFGHABCD0合作探究【例1】把圆分成5等份，求证：⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.例题讲解ABCDE证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，∵BCE=CDA=3AB，∴∠A=∠B，同理∠B=∠C=∠D=∠E，又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2）连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.ABCDEPQRSTO又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA，⌒⌒∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.

把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【定理】知识讲解正三角形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？正方形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？那么，正n边形呢？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.【定理】知识讲解以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?EFCD..O中心角半径R边心距r正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.AB以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。知识讲解EFCDOABGRa.中心角边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,边数为n，圆的半径为R,它的周长为L=na.知识讲解正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.知识讲解1.各边相等，各角相等.2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份.4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.正多边形的性质【归纳】知识讲解5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n.7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形.∴∠COD=60°，∴△COD为等边三角形，CD=OD=4在Rt△COG中,OC=4,CG=2.【例2】如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.FADE..OBCG∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为例题讲解1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．通过本课时的学习，需要我们掌握：课堂小结1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________.①②③④③④⑤③④2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______.3:49:163:41:1当堂检测3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．4.正方形