第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论第1页，课件共91页，创作于2023年2月§2.1平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题(planestress)1．几何形状特征物体在一个坐标方向(例如z方向)上的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面x、y方向的尺寸。第2页，课件共91页，创作于2023年2月2．承受荷裁特征在薄板的两个侧表面上无表面荷载，作用于薄板边缘的表面力平行于板面，且沿厚度方向不发生变化，或虽沿厚度方向变化但对称于乎板画的中间平面，即合力与中平面重合。同时，体力亦平行于板面，且沿厚度方向不变。3．简化分析根据问题的特征，经过分析判断可预先未知函数中一部分为零或接近于零，或与共他分虽相比，小到可以忽略不计的程度。第3页，课件共91页，创作于2023年2月设弹性薄板的厚度为h，因薄板两侧面无表面力作用，所以有而在薄板内部，这三个应力分量是不为零的。但是，由于板很薄且在所给荷载情形下，薄板不受弯曲作用，也不存在稳定问题。所以可认为板内所有各点都有由剪应力互等定理，得故平面应力问题的非零应力分量为第4页，课件共91页，创作于2023年2月在实际工程中，可以简化为平面应力问题的例子是很多的。例如，高层建筑中的剪力墙、深梁、平面吊钩(如图2—3所示)以及平面链环、被圆孔或圆槽削弱的薄板等等，都可简化为平面应力问题。在实际应用中，对于微度变厚度的薄板、带有加强筋的薄板、平面刚架的节点区域等等，只要符合上述两个条件，也往往核平面应力问题用有限单元法作近似计算。第5页，课件共91页，创作于2023年2月二平面应变问题(planestrain)1．几何形状特征与平面应力问题相底物体沿一个处标轴(例如z轴)方向的尺寸远大于其他两个坐标轴(x轴和y轴)方向的尺寸，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等截面柱体。2．承受荷载特征柱体的体积力和侧表面所承受的表面力均垂直于z轴，且分布规律不随坐标z变化,柱体的位移约束条件和力的支承条件沿z方向也是相同的。第6页，课件共91页，创作于2023年2月第7页，课件共91页，创作于2023年2月3．简化分析等截面柱体，例如挡土墙、隧道、重力坝和圆管等，如果受到垂直于z轴且不沿长度变化的荷载作用，就可以假定所有横截面都处于相同的情况。为简单起见，现在先假定两端截面被限制在两个固定的光沿刚性平而之间，因而z方向的位移被阻止了。由于两端没有轴向位移，且由于对称，在中间截面也没有轴向位移；因而可以假定每一个横截面都同样没有轴向位移。每一个横截面都同样没有向向位移。当然，在长柱体的每一种情况下，荷裁必须不沿长度变化。第8页，课件共91页，创作于2023年2月由于所有横截面的情况相同，所以只须考虑相隔—个单位长度的两截面之间的薄板(即一片)就够了。这时，位移分量u和v是x和y的函数，但与纵坐标z无关，因为纵向位移w为零，所以可得 。于是，六个应变分量只剩下、和等三个应变分量了，而且它们仅是x和y的函数。所以，凡符合下列两个条件的应变状态，就称为平面应变状态，所求的这种弹性力学问题称平面应变问题。第9页，课件共91页，创作于2023年2月§2.2平衡微分方程(differentialequationsofequilibrium)基本思路过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式——平衡微分方程。第10页，课件共91页，创作于2023年2月对图示的六面体，各面上的应力分布已经给出，应力分布被认为作用于对应的微分面的中心j，体力分量被认为作用于微分体体积的中心上。第11页，课件共91页，创作于2023年2月方程推导考虑任意一个单元体的平衡，则是保证整个物体平衡的必要和充分条件。因此，作用在单元体上的力应当满足平面问题的三个平衡条件：整理以后，得Nevier方程(2-1)第12页，课件共91页，创作于2023年2月两边除以dxdy,合并相同的项，得到这不过是再一次证明了曲应力的互等性。可见，Navier方程中只有三个未知函数。(2-2)第13页，课件共91页，创作于2023年2月§2.2平面问题中一点的应力状态对平面应力或平面应变问题，可以证明：当知道了物体内任一点的应力分量

x、y

和

xy以后，作用于通过该点处与xy平面垂直并与x和y轴交成某一角度的任一平面上的应力，都可以求得。第14页，课件共91页，创作于2023年2月令P为受力的板中的一点，并假定应力分量

x、y

和

xy是已知的。试取一个平行于z轴而距离P点很近的平面BC，于是。这个平面连同坐标面一起，从板上分割出一个很小的三棱柱PBC。因因为应力在物体内连续变化。所以当分割的三棱校渐小时。作用于平面BC上的应力将趋近于经过P点并与它平行的平面上的应力。n第15页，课件共91页，创作于2023年2月令n为平面BC的法线方向．并用代表法线与x轴和y轴之间的夹角的余弦。于是，把三棱柱BC面的向积用A代表．则另外两面的面积为Al和Am。用 及 代表BC面上的应力分量，则由三棱柱的平衡方程得(2-3)第16页，课件共91页，创作于2023年2月令

为法线n与x轴之间的夹角，于是有l=cos

，m=sin

，并由方程(2-3)得平面BC上的正应力分量和剪应力分量(2-4)式(2-4)与材料力学的结果是完全相同的，只是使用的符号记法不一样。同时教材中所给出的确定主应力的方法也与材料力学中学习过的方法一样。下面我们介绍一种更加简便的记法——矩阵记法。第17页，课件共91页，创作于2023年2月对平面应力状态，一点的应力状态可以记为而法线n记为(l,m)T，这样式(2-4)可以写成此时，剪应力却不能给出普遍性的表达式，原因是这时的斜截面BC不能用正、负坐标微面来规定其所谓的正方向，即便如此，对图示情形,(2-5)第18页，课件共91页，创作于2023年2月从而，有注意：我们将(

ij)称为一点的应力张量，它可以完全反映该点的应力之分布情况。(

ij)n事实上就是斜面BC上的应力按沿坐标分量的记法，即某斜截面的剪应力由于没有规定相应的切向正方向，所以经常要视剪应力的具体情况而定。(2-6)第19页，课件共91页，创作于2023年2月主应力、主方向的确定应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，即(2-7)(2-8)第20页，课件共91页，创作于2023年2月结论：特征方程的特征根就是该点的主应力对于特征方程该方程的两个特征根为(2-9)将每一个特征根

i代入下述方程组这是一个关于l,m的齐次线性方程组，该方程的基础解系就是与主应力

i对应的特征方向(li,mi)T。(2-10)第21页，课件共91页，创作于2023年2月例以纯剪切应力状态为例。显然第22页，课件共91页，创作于2023年2月将

1代入下列方程组其解为也就是说与

1对应的方向为(1,1)，或者(-1,-1)。同样可得与

2对应的方向为(-1,1)，或(1,-1)。(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)第23页，课件共91页，创作于2023年2月§2-3几何方程刚体位移经过弹性休内任意一点P，截取一微小的单位厚度的正六面体PACB，假定弹性体受力以后(形变与位移只发生在xy平面内)，六面体移动到新的位置 。这样，可以看到两种基本的几何形变，即，一种是在x、y方向上原来直线长度PA、PB的变化，另一种是所给PA与PB夹角(直角)的变化。分别推导这两种基本的几何形变，就可以得到线形变和角形变的方程。这两种方程的综合就得到所谓平面问题的几何方程。第24页，课件共91页，创作于2023年2月在平面问题中，其形变和位移与应力一样，仅仅是x、y的函数，从而只需分析xoy平面内形变与位移的关系。对于图示的有限小六面体(棱边长度分别为

x、

y，单位厚度

z=1)。当弹性体变形时点P(x，y)移至P´(x+u，y+v)，其余的各角点也分别移至新的位置，如A(x+

x，y)移至A´(x+

x+u+

u，y+v+

v1)，如此等等。第25页，课件共91页，创作于2023年2月由于点A的位移与点P的位移不相等，假定变形后的梭边P´A´比变形前的棱边PA伸长了。由因可见，其水平投影的长度增加了(u+u)-u=

u，从而其水平投影的相刘伸长昼为

u／

x，这就是六面体在x方向的平均线应变。同理，六面体在y方向的平均线应变为

v／

y，当该有限小六面体棱边的长度

x、

y无限趋于零时，这两个平均线应变的极限便分别成为P(x，y)点处的线形变分量

x和

y第26页，课件共91页，创作于2023年2月同样可很线段PA、PB的转角分别为于是可得PA与PB之间的直角的改变(以减小时为正)，也就是剪应变

xy为综合得Cauchy方程(2-11)第27页，课件共91页，创作于2023年2月刚体位移由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，应变分量则亦完全确定；反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。为了说明后一点，试令应变分量等于零，即将上式代入几何方程(3-1)，得(a)(b)第28页，课件共91页，创作于2023年2月将前两式分别对x及y积分，得其中f1、f2为任意函数。代(c)入(b)中的第三式，得(c)这一方程的左边是y的函数而右边是x的函数。因此，只能是两边都等于同一常数

，于是得(d)(e)第29页，课件共91页，创作于2023年2月积分以后，得(f)式中u0、v0为任意常数。将式(f)代入式(c)，得位移分量(2-12)式(3-2)所示的位移，是“应变为零”时的位移，也就是所谓“与应变无关的位移”，因此必然是刚体位移。实际上，u0、v0分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移，而

为物体绕z的的刚体转动。下面根据平面运动的原理加以证明。第30页，课件共91页，创作于2023年2月当三个常数中只有u0不为零时，由式(3-2)可见，物体中任意一点的位移分量是u=u0，v=0。这就是说物体的所有各点只沿x方向移动同样的距离u0。由此可见，u0代表物体沿x方向的刚体平移。同样可见，v0代表物体沿y方向刚体平移。当只

不为零时，由式(3-2)可见，物体中任意一点的位移分量是第31页，课件共91页，创作于2023年2月据此，坐标为(x，y)的任意一点P沿着正y方向移动

x，并沿着负x方向移动

y，如图示，而合成位移为式中r为P点至z轴的距离。令合成位移的方向与y轴的夹角为

，第32页，课件共91页，创作于2023年2月则可见合成位移的方向与径向线段OP垂直，也就是沿着切向。既然物体的所有各点移动的方向都是沿着切向，而且移动的距离等于径向距离r乘以

，可见(注意位移是微小的)。代表物体绕z轴的刚体转动。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定的形变时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移。因而它的位移并不是完全确定的，在平面问题中，常数u0、v0、

。的任意性就反映了位移的不确定性．而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。第33页，课件共91页，创作于2023年2月§2-5物理方程一维情况下的虎克定律

=E

。推广到三维应力状态，得到空间问题的物理方程其中E是弹性量，G是剪切弹性模量，为Poisson系数(2-13)(2-14)第34页，课件共91页，创作于2023年2月1.在平面应力问题中，

z=0，

yz=

zx=0，(2-15)由(2-13)的第三式知道第35页，课件共91页，创作于2023年2月2.在平面应变问题中，由于物体的所有各点都不沿z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即

z=0。于是由式(2-13)中的第三式得代入其它式子，注意到

yz=

zx=0，则有(2-16)——平面应变问题的(Lamè形式)Hooke定律。第36页，课件共91页，创作于2023年2月这样就得到了平面问题的基本方程组或第37页，课件共91页，创作于2023年2月注意：也可以将Hooke定律写成用应变表达的形式(Young-Poisson形式)另外，对于平面应变的情形，只要将平面应力时的物理方程中的弹性常数作如下变化，则可得到平面应力时的物理方程，无论是Lamè形式还是Young-Poisson形式。第38页，课件共91页，创作于2023年2月由基本方程组知，平面问题的基本未知量的数目为8个，即另外，根据弹性力学的物理假定，弹性常数E，G，

有如下性质：(一)不随应力或形变的大小而变；(二)不随位置坐标而变；(三)不随方向而变。可见，方程的数目和未知量的数目是相同的，只要考虑相应的边界条件就可以求解。第39页，课件共91页，创作于2023年2月§2-5边界条件Saint-Venant原理(Boundarycondition&Saint-Venant’sPrinciple)当物体在外力作用下处于平衡状态时，其内部各点的应力分量应当满足平衡微分方程(2-1)，如果所考察的是位于物体表面上的点(即边界点)，显然这些点的应力分量(代表物体内部作用于这些边界点上的力)应当与作用在该点处的外力(表面力)相平衡，这种边界点的平衡条件，称为边界条件(也称为静力边界条件或应力边界条件)。第40页，课件共91页，创作于2023年2月我们所取的微分体就是具有单位厚度的五面休(三角板状)PAB，斜边与边界研重合，如图所示。用n表示边界面AB的外法线方向，则有由平衡条件

X=0，Y=0得(2-17)这就是平面问题的应力边界条件。第41页，课件共91页，创作于2023年2月现任讨论两种极端情况下的边界条件。一种是在物体的边界上全部给定面力，距S

表示。如图示，这时应力边界条件即为式(2-17)。另一种是在物体的达界上全部给定位移，用Su表示，如图示，这时，位移边界条件为，(2-18)式中u、v是位移的边界值，是待求的，而 在边界上是坐标x，y的函数，是已知的。第42页，课件共91页，创作于2023年2月当边界垂直于某一坐标轴时，应力边界条件的形式将得到大大的筒化：在垂直于x轴的边界上，x值为常量，l＝±1，m=0，应力边界条件简化为在垂直于y轴的边界上，y值为常量，l=0，m=±1，应力边界条件简化为可见，在这种特殊情况下，应力分量的边界值就等于对应的面力分量(当边界的外法线沿坐标轴正方向时，两者的正负号相间；当边界的外法线沿坐标轴负方向时，两者的正负号相反)。第43页，课件共91页，创作于2023年2月注意：在垂直于x轴的边界上，应力边界条件中并没有

y，在垂直于y轴的边界上，应力边界条件中并没有

x。这就是说，平行于边界的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。第44页，课件共91页，创作于2023年2月混合边界条件图示弹性体，部分位移被限制，故为位移边界条件Su而另一部分边界则是外力已知，故为应力边界条件S

两者结合起来，即为混合边界条件。第45页，课件共91页，创作于2023年2月例试写出图示平面问题的应力边界条件。n解：在y=0的边界上，有亦y=xtan

边界面上，表面力为零，外法线n的方向余弦为由式(2-17)得第46页，课件共91页，创作于2023年2月例设有距形截面的竖柱，密度为

，应力分量为试分别利用图1a和b确定常数Cl及C2.图1(a)第47页，课件共91页，创作于2023年2月解：方法一由图知，用静力边界条件确定常数，必须先求出支承反力。对于图1a，求得支承反力为 ，如图2示。其边界条件为图2(b)将式(a)代入上式，得方法二如果同时应用平衡微分方程和应力边界条件，就不必求出支承反力而能直接定出常数。例如，由平衡微分方程(2-1)的第二式第48页，课件共91页，创作于2023年2月即得再由图1a上边界，得所以对于图1b，由平衡微分方程(2-1)第二式，得C1=

g，再由图1b下边界得导出第49页，课件共91页，创作于2023年2月Saint-Venant’sPrinciple用弹件力学方法求解实际问题时，若严格按照表面力的真实分布情况给出边界条件，这在数学上将变得异常复杂。由于这一原因，也出于在实际问题中往往对于局部区域上外力的分布方式很难明确，于是，人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，这一问题由圣维南明确提出：如果改变物体的某一局部(小部分)边界面上作用的表面力的分布方式，但保持静力上的等效(即主向量相同，对于同一点的主矩也相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变甚小，可以忽略不计。这一叙述称为圣维南原理。第50页，课件共91页，创作于2023年2月例如，右图示a和b的端部，作用力满足静力等效条件，所以这两个问题应力分布的显著差异发生在端部，远处可以用图b的解答代替图a的解答。我们知道，图a问题的精确解答(包括端部条件的精确满足)是十分困难的。而图b问题的解答却是十分容易得到的。所以我们在具体计算是用图b的边界条件代替图a的边界条件，并称这样的边界条件为S-N边界。第51页，课件共91页，创作于2023年2月左图a中的边界也是很难满足的，一般情况下，图b的边界却很容易满足，而且这两种边界是静力等效的，所以我们认为这两种情况在远离边界的区域的应力分布是一样的。第52页，课件共91页，创作于2023年2月必须指出，在上述的梁中，如梁的长与高相当或相近（深梁），这时闻静力等效条件将产生显著的误差，所以，这时就不能采用静力等效。第53页，课件共91页，创作于2023年2月对于局部域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可另述如下：

如果物体一小部分边界表面承受的表面力是一平衡力系，即主矢量和主矩都为零，这个平衡表面力所产生的影响只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，而在远离受力位置，应力就迅速衰减甚至消失。最显著的例证，就是用钳子夹钢丝或铁丝，在加力点(钳口)附近发生很大的应力乃至剪断，但是，只要离钳口不甚远，应力就已很小甚至没有，那里的全属不保有任何受力的痕迹。第54页，课件共91页，创作于2023年2月§2-7按位移求解平面问题按位移求解，就是以位移分量为基本来知函数，求解平面问题的基本微分方程。一旦求得了位移分量，即可通过几何方程(2-11)求得应变分量，通过物理方程(2-13)求得应力分量。为此，首先要导出按位移求解平面问题时所需用的基本方程(微分方程)和边界条件。这需将用应力分量表示的平衡微分方程(2-1)变换为用位移分量表示的平衔微分方程，同时，应力边界条件也将作相应的变换。第55页，课件共91页，创作于2023年2月建立以位移为基本变量的基本方程组（以平面应力问题为例）1.将Hooke定律表达为位移相关的形式(2-19)第56页，课件共91页，创作于2023年2月将Cauchy方程(2-11)代入(2-19)得(2-20)第57页，课件共91页，创作于2023年2月再将式(2-20)代入平衡微分方程(2-1)，简化后，即得(2-21)这是按位移求解平面应力问题时所用的基本微分方程，也就是所谓拉梅(Lamè)方程在平面应力问题中的简化形式。实质上，它就是用位移表示的平衡微分方程，这也就是方程(2-21)的力学意义。——拉梅(Lamè)方程第58页，课件共91页，创作于2023年2月另一方面，将式(2-20)代入应力边界条件(2-17)，简化以后，得(2-22)这是用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时所用的静力边界条件。位移边界条件仍然如式(2-l8)所示，即(2-18)至于导出平面应变问题的Lamè方程，只需将上述(2-21)和(2-22)式作与物理方程相同的弹性常数变换即可。第59页，课件共91页，创作于2023年2月结论：对于按位移法求解平面问题，其基本方程是(2-21)，这是两个方程组成的偏微分方程组，再加上应力边界条件(2-22)和位移边界条件(2-18)。其特点是，未知量数目只有两个，即位移函数u和v。这组方程很容易用于作有限元数值计算。第60页，课件共91页，创作于2023年2月§2-8按应力求解平面问题相容方程按应力求解平面问题，就是以应力分量为基本未知函数，求解平面问题的基本微分方程。由于平衡微分方程(2-1)本身就是用应力分量表示的，应当保留。于是，只需从三个几何方程中消去位移分量，得出应变分量之间的一个关系式，可将物理方程式代入这个关系式，使它只包含应力分量即可。若求得的三个应力分量表达式，是物体的真正的应力场，即可通过物理方程(2-15)或(2-16)求得应变分量，从而通过几何方程(2-11)就可求得单值、连续的位移分量表达式。第61页，课件共91页，创作于2023年2月(2-11)考虑将Cauchy方程第一式对y求二阶导数，第二式对x求二阶导数相加得(2-23)即上式称为弹性体变形相容方程(CompatibilityEquations)，也称S-N恒等式。它是保证弹性体变形连续的条件。第62页，课件共91页，创作于2023年2月对于平面应力问题，将物理方程(2-15)代入式(2-23)，得(2-24)利用平衡微分方程可以简化上式，使它只包含正应力而不包含剪应力。为此，将平衡微分方程(2-1)写成将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，得第63页，课件共91页，创作于2023年2月代入式(2-24)，得即(2-25)——平面应力时的应力相容方程可见，按应力求解时得到的是一个关于(

x+y)微分方程与平衡微分方程联立求解。对于平面应变问题，只要对弹性常数作变换即可。第64页，课件共91页，创作于2023年2月特别地，当体力为零或常数时，得这是一个关于(

x+y)的调和方程，而在数学上，调和方程已经得到了满意的解答，这使按应力解析求解弹性平面问题称为可能。(——请同学们参阅高等数学中关于调和函数和调和方程的性质)(2-26)但是由于位移边界条件无法用应力分量来表示，所以对于位移边值问题和混合边值问题，一般都不可能按应力求解而得出精确解答。——这是按应力解法的局限性第65页，课件共91页，创作于2023年2月需要提出，相容方程(2-25)是经过对几何方程和平衡微分方程求导得到的，这就可能带进一些新的多值解，这些解答不满足原来的几何方程和平衡微分方程。因此，按应力求解弹性力学平面问题的提法为：在给定边界条件下求解平衡微分方程(2-1)与相容方程(2-25)组成的偏微分方程组。同时，按应力求解时，还要进一步分析能否得到应力的单值解答。经分析证明，对单连体情况，即只有一个连续边界的物体确实可得到单值解，但对多连体，必须附加位移单值条件才能得到应力、形变的单位解。第66页，课件共91页，创作于2023年2月§2-9常体力情况下的简化应力函数常体力情况下平面应力问题的基本方程为(2-27)这是一个偏微分方程组，下面我们针对这种特殊形式的偏微分方程组，利用数学知识来确定该方程的通解和特解。注意，这里所说的特解是在假定体力为常数时的特解，并没有计及边界条件，也就是说是特解中是存在积分常数的。第67页，课件共91页，创作于2023年2月由平衡微分方程可见，其特解是与体力X、Y有关的。可用观察法得到。例如，下面三组应力分量部可作为平衡方程的特解。现在，求解齐次方程的通解第68页，课件共91页，创作于2023年2月由第一式根据高等数学的全微分理论知，存在函数A(x,y)，使得由第二式则必存在函数B(x,y)，使得(a)(b)第69页，课件共91页，创作于2023年2月由式(a)和(b)第二式则必存在函数

(x,y)，使得这样(2-28)第70页，课件共91页，创作于2023年2月式(2-28)就是(2-27)齐方程的通解。将通解(2-28)与任一组特解叠加，即得微分方程(2-27)的全解。比如不论

是什么样的函数，式(2-29)表示的应力分量总能满足平衡微分方程(2-1)。函数

称为平面问题的应力函数(Stressfunction)，是Airy首先引用的。有时也称为Airy应力函数。(2-29)第71页，课件共91页，创作于2023年2月(2-30)展开得——用应力函数表示的相容方程式(2-30)在数学上称为双调和方程，而满足双调和方程的函数叫做双调和函数。由此可见，弹性力学平面问题的应力函数

(x，y)是一个双调和函数。综合以上分析得出，在常体力时只要引入一个应力函数，求解平面问题时需用的三个方程最后归纳为一个方程。从而，原来需要求解的三个未知函数(

x

y

xy)的问题就转化为只需求解一个未知函数，这就使问题的求解大为简化。第72页，课件共91页，创作于2023年2月如果体力讨以不计，则X=Y=0，公式(2-29)就转化为(2-31)于是在求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只需由微分方程(2-30)求解应力函数

，然后用式(2-29)或(2-31)求出应力分量。但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件，在多连体中，与这些应力分量相应的位移分量还向当满足位移单值条件。第73页，课件共91页，创作于2023年2月例图示悬臂梁，ox轴平分梁高h，试根据材料力学中

x的表达式，用平衡微分方程导出

xy和

y的表达式。解：过P点横截面上的弯矩为则由平衡微分方程第74页，课件共91页，创作于2023年2月得由梁的边界条件则再由平衡微分方程，得最后得得根据边界条件第75页，课件共91页，创作于2023年2月例图示薄板条有一齿形ABC，板条在y方向受均匀拉力的作用。试证明在齿的尖端A处无应力存在。证明因图示受力板条可视为平面应力问题，且齿面AB与AC均为自由边界，无面力作用。设A点的外法线方向余弦为(l,m)所以A点应满足边界条件ABCn由于(l,m)是任意的，该方程组成立的条件是系数矩阵为零，即A处无应力存在。第76页，课件共91页，创作于2023年2月附录全微分方程如果方程的左边恰是某一函数

(x，y)的全微分，即(a)则方程(a)称为全微分方程(或叫恰当微分方程)，这时方程(a)可写成(b)(c)因而，它的通解为式中C是任意常数。(d)第77页，课件共91页，创作于2023年2月一般地说方程(a)是否为全微分方程并不是一眼就能看出的，而是要通过某一条件来判别的。这里，我们假定函数A(x,y)和B(x,y)在某区域内连续且具有连续的偏导数。如果介程(a)是全微分方程，即有函数

(x,y)使得则(e)将式(e)中第一式两边对x求偏导，第二式两边对y求偏导数，得第78页，课件共91页，创作于2023年2月由得式(f)就是使方程(a)成为全微分方程的必要条件。(f)事实上，式(f)也是充要条件，其充分性证明从略。第79页，课件共91页，创作于2023年2月例1图示为被两个固定的光滑刚性平面所挟持的弹性薄板，板厚为t，坐标面xoy与平分板厚的中面重合。在薄板周边作用有沿板厚均匀分布的，自相平衡的压力q，试证明该问题也