第二章对偶问题

第二章对偶问题第1页，课件共54页，创作于2023年2月线性规划的对偶问题III每天可用能力设备A（h）设备B（h）调试工序（h）06152115245利润（元）21问公司应每天制造两种家电各多少件，使获取的利润最大。例1

第2页，课件共54页，创作于2023年2月问题美佳公司愿意以多大的代价出让自己所拥有的生产资源？第3页，课件共54页，创作于2023年2月设y1,y2和y3分别表示出让资源A，B和调试工序的单价，则美佳公司同意出让的条件将是同意出让生产产品I的资源同意出让生产产品II的资源购买者希望用最少的代价获得这些资源，因此第4页，课件共54页，创作于2023年2月这样得到一个新的线性规划问题称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规划问题或对偶问题，原来的LP问题也称为原问题。第5页，课件共54页，创作于2023年2月LP问题的对称形式变量：所有变量均具有非负约束约束条件：最大化问题所有约束条件都是“≤”型的最小化问题所有约束条件都是“≥”型的第6页，课件共54页，创作于2023年2月对称形式下的对偶关系项目原问题对偶问题AbC目标函数约束条件决策变量约束条件系数矩阵约束条件右端项向量目标函数系数向量maxz=CXAX≤bX≥0约束条件系数矩阵转置目标函数的系数向量约束条件的右端项向量minw=Yb’A’Y≥C’Y≥0第7页，课件共54页，创作于2023年2月原问题maxz对偶问题minwn个决策变量m个约束条件n个约束条件m个决策变量约束条件“≤”型决策变量≥0决策变量≥0约束条件“≥”型对称形式的对应关系对偶问题的对偶是原问题，即对偶关系是相互对称的关系第8页，课件共54页，创作于2023年2月非对称形式下的对偶关系原问题（对偶问题）maxz对偶问题（原问题）minwn个决策变量m个约束条件n个约束条件m个决策变量约束条件“≤”型约束条件“≥”型约束条件“=”型决策变量≥0决策变量≤0决策变量无约束决策变量≥0决策变量≤0决策变量无约束约束条件“≥”型约束条件“≤”型约束条件“=”型第9页，课件共54页，创作于2023年2月单纯形法的矩阵表示添加松弛变量XS将XB的系数矩阵化为单位矩阵第10页，课件共54页，创作于2023年2月CBCN0XBXNXS0XSbBNICBCN0CBCN0XBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-10CN–CBB-1N–CBB-1初始单纯形表迭代后的单纯形表第11页，课件共54页，创作于2023年2月在初始单纯形表中单位矩阵经过迭代后变为基矩阵B的逆在初始单纯形表给出的解中基变量Xs=b,而在迭代后的表给出的解中基变量XB=B-1b系数矩阵的变化:[A,I]B-1[A,I]在初始单纯形表中变量xj的系数为Pj经过迭代后变为Pj′,并且Pj′=B-1Pj若迭代后的单纯形表为最终表则该表也同时给出对偶问题的最优解第12页，课件共54页，创作于2023年2月项目原问题变量原问题松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/415/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2-σj0001/41/2对偶问题剩余变量对偶问题变量y4y5y1y2y3项目对偶问题变量对偶问题剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-5/410-1/41/4y31/215/2011/2-3/2σj15/2007/23/2原问题松弛变量原问题变量x3x4x5x1x2原问题最终单纯形表对偶问题最终单纯形表例1最大化问题检验数的相反数给出了对偶问题的解第13页，课件共54页，创作于2023年2月原本在对偶关系中，原问题的变量对应着对偶问题的约束条件，原问题的约束条件对应着对偶变量。但在分别添加了松弛变量和剩余变量后，也可以建立原问题变量与对偶问题变量之间的对应关系原问题对偶问题第i个约束条件中添加的松弛变量第i个对偶变量第j个变量第j个约束条件中添加的松弛变量注上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量第14页，课件共54页，创作于2023年2月对偶问题的基本性质弱对偶性原问题可行解的目标函数不超过对偶问题可行解的目标函数第15页，课件共54页，创作于2023年2月弱对偶性的推论（1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是原问题目标函数值的上界。（2）如原问题有可行解且目标函数无界（即原问题为无界解），则对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数无界，则原问题无可行解。注意该推论的逆命题不成立。（3）若原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题目标函数无界；反之对偶问题有可行解而原问题无可行解，则原问题目标函数无界。第16页，课件共54页，创作于2023年2月最优性若原问题一个可行解目标函数等于对偶问题的某个可行解的目标函数,则这两个可行解分别是原问题和对偶问题的最优解强对偶性若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解,且最优解的目标函数值相等互补松弛性在线性规划问题的最优解中,如果对应某一约束条件的对偶变量值非零,则其对应的约束条件取等式;反之若一个约束条件为严格的不等式,则其对应的对偶变量为零第17页，课件共54页，创作于2023年2月互补松弛性的另一种表述在线性规划问题的最优解中,如果对应某一约束条件的对偶变量值非零,则该约束条件中松弛变量等于零;反之若一个约束条件中松弛变量非零,则其对应的对偶变量为零。第18页，课件共54页，创作于2023年2月例（p76.7）原问题对偶问题将原问题最优解X*=(2,2,4,0)代入原问题约束条件中得第一个约束条件：2+6=8，为等式第二个约束条件：4+2=6，为等式第三个约束条件：2+4=6，为等式第四个约束条件：2+2+4<9，为不等式，故y4=0第19页，课件共54页，创作于2023年2月而由x1=2>0,得而由x2=2>0,得而由x3=4>0,得于是得到方程组得对偶问题最优解为注：原问题与对偶问题最优目标函数值都是z*=4+8+4=16第20页，课件共54页，创作于2023年2月第三节影子价格第21页，课件共54页，创作于2023年2月式中bi是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表第i种资源的拥有量；对偶变量yi的意义代表在资源最优利用的条件下对第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价，为区别起见，称为影子价格。设和分别是原问题和对偶问题的最优解，则由对偶性质，有第22页，课件共54页，创作于2023年2月资源的影子价格随企业的生产任务、产品结构的改变而改变影子价格是资源的边际价格资源的影子价格也可视为一种机会成本在生产过程中若某种资源未得到充分利用则其影子价格为零；只有在资源得到充分利用时，其影子价格才可能非零利用影子价格可以说明：单纯形法中的检验数可以看成生产某种产品的产值与隐含成本的差可以利用影子价格确定企业内部的核算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。第23页，课件共54页，创作于2023年2月例1Maxz=2x1+x2s.t.5x2≤156x1+2x2

≤24

x1+x2≤5x1,x2≥0x2=36x1+2x2=24x1+x2=5最优解可行域最优目标函数值的变化：8.5变到8.75，增加1/4资源的变化：设备B的可用时间从增加一小时第24页，课件共54页，创作于2023年2月参考文献：李慧：资源影子价格分析与经营管理决策，系统工程理论与实践，2003年4月号，22-26第25页，课件共54页，创作于2023年2月第四节对偶单纯形法按对偶问题与原问题之间的关系，对最大化问题，在用单纯形法求解原问题时，最终表不但给出了原问题的最优解，而且其检验数的相反数就是对偶问题的最优解。第26页，课件共54页，创作于2023年2月单纯形法求解的基本思路基可行解检验数非正保持解的可行性对偶单纯形法的基本思路对偶问题基可行解（检验数非正）原问题基可行解保持对偶问题解的可行性（检验数非正（对偶问题可行解）第27页，课件共54页，创作于2023年2月保持对偶问题有基可行解,而原问题只是基本解,通过迭代,使后者的负分量个数减少，一旦成为基可行解,则原问题与对偶问题同时实现最优解.第28页，课件共54页，创作于2023年2月对偶单纯形法计算步骤适应于求解这样的LP问题：标准化后不含初始基变量，但将某些约束条件两端乘以“-1”后，即可找出初始基变量。要求：初始单纯形表中的检验数满足最优性条件第29页，课件共54页，创作于2023年2月对满足上述条件的LP问题，对偶单纯形法的步骤是：旋转运算。然后回到第2步。作出初始单纯形表（注意要求）检查b列的数据是否非负，若是，表中已经给出最优解；否则转下一步确定换出变量：取b列最小的数对应的变量为换出变量确定换入变量：用检验数去除以换出变量行的那些对应的负系数，在除得的商中选取其中最小者对应的变量为换入变量第30页，课件共54页，创作于2023年2月例用对偶单纯形法求解如下的LP问题化成标准形式第31页，课件共54页，创作于2023年2月将各约束条件两端同乘“-1”得用对偶单纯形法求解得第32页，课件共54页，创作于2023年2月最优解：x1=0,x2=1/4,x3=1/2,x4=0,x5=0最优目标函数值：w*=-8.5（z*=8.5）注：通常很少直接使用对偶单纯形法求解线性规划问题。第33页，课件共54页，创作于2023年2月灵敏度分析将讨论LP问题中的参数中有一个或几个发生改变时问题的最优解会有什么变化，或者这些参数在一个多大的范围内变化时，问题的最优解不变第34页，课件共54页，创作于2023年2月研究的思路将个别参数的变化直接在计算得到的最终单纯形表中反映出来，这样就不需要从头计算，而直接检查在参数改变后最终表有什么改变，若仍满足最终表的条件，则表中仍给出最优解，否则从这个表开始进行迭代求改变以后的最优解。第35页，课件共54页，创作于2023年2月灵敏度分析的步骤将参数的改变计算反映到最终表上来。具体计算公式可以使用检查原问题是否仍为可行解检查对偶问题是否仍为可行解对检查情况按下表进行处理第36页，课件共54页，创作于2023年2月原问题对偶问题结论或继续计算步骤可行解可行解问题的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算第37页，课件共54页，创作于2023年2月价值系数变化的灵敏度分析例：在第一章美佳公司的例1中（1）若产品I的利润降至1.5元/件，而产品 II的利润增至2元/件，美佳公司的最优生产计划有何改变；（2）若产品I的利润不变，则产品II的利润在什么范围变化时，该公司的最优生产计划不发生变化第38页，课件共54页，创作于2023年2月原最终单纯形表第39页，课件共54页，创作于2023年2月（1）改变后新的最优解为：最优目标函数值为：第40页，课件共54页，创作于2023年2月（2）改变后为使表中的解仍为最优解必须因此产品II的利润变化范围为第41页，课件共54页，创作于2023年2月资源常数变化的灵敏度分析例：在第一章美佳公司的例1中（1）若设备A与调试工序的每天能力不变，而设备B每天的能力增加到32小时，分析公司最优计划的变化；（2）若设备A和B每天可用能力不变，则调试工序能力在什么范围变化时，问题的最优基不变第42页，课件共54页，创作于2023年2月（1）b由(15，24，5)T变为(15，32，5)T后，相应地最终表中b列的数据变为代入原最终表第43页，课件共54页，创作于2023年2月（2）设现在每天调试工序的时间为x，则最终表中b列的数变为故要使最优基不变必须第44页，课件共54页，创作于2023年2月利用Excle求解LP问题，以P45.7(2)为例第45页，课件共54页，创作