数学北师大版必修4导学案2.2.1向量的加法

§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法问题导学1．利用向量的加法法则作图活动与探究1如图所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c．迁移与应用如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”；(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则．2．向量的加法运算活动与探究2如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))．活动与探究3化简下列各式：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))．迁移与应用化简或计算．(1)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(3)eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))．两类向量加法运算问题的解法：(1)图形中向量的加法运算，要注重三角形法则和平行四边形法则的运用，必要时借助图形的几何性质进行向量的平移转换．(2)向量加法的化简，要先利用向量加法的交换律使各向量首尾相接，再利用结合律调整顺序，根据三角形法则或多边形法则得出结论．3．向量加法的综合应用活动与探究4一艘船从A点出发以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2km/h，求船实际航行的速度的大小与方向．迁移与应用如图(1)，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．用向量加法解应用问题的方法：(1)与大小、方向有关的一类应用题，如力的合成与分解，速度的合成等，可利用向量加法的知识来求解．(2)解决此类问题的基本思路是结合图形，利用平行四边形法则，转化为求向量的模或方向，然后利用三角形知识求解．当堂检测1．若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a＋b表示()．A．向东南走eq\r(2)kmB．向东南走2kmC．向东北走eq\r(2)kmD．向东北走2km2．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是()．A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))3．化简eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果是__________．4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝__________．5．已知向量a，b，比较|a＋b|与|a|＋|b|的大小．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)a与b的和预习交流1提示：三角形法则适用于任意两个非零向量的求和；而平行四边形法则只适用于两个不共线向量的求和．(3)终点起点起点到终点的向量eq\o(A0An,\s\up6(→))预习交流202．①b＋a②a＋bb＋ca预习交流3提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．预习交流4C课堂合作探究【问题导学】活动与探究1解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋c.然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c为所求．迁移与应用解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.活动与探究2解：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝0.活动与探究3解：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋Peq\o(B,\s\up6(→)))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋Meq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋Meq\o(B,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).迁移与应用解：(1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0；(3)原式＝(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋0＝0.活动与探究4解：如图，设eq\o(AD,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的速度，eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则eq\o(AC,\s\up6(→))就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝4.∵tan∠CAB＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠CAB＝60°.迁移与应用解：如图(2)，设eq\o(CE,\s\up6(→))、eq\o(CF,\s\up6(→))分别表示A、B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示，则eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴∠CEG＝∠CFG＝90°，∴|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.∴A处所受力的大小为5eq\r(3)N，B处所受力的大小为5N.【当堂检测】1．A2．C3．eq\o(OQ,\s\up6(→))4．eq\r(1