青岛版九年级数学上册 （一元二次方程根与系数的关系）教学课件

4.6一元二次方程根与系数的关系

教学目标

了解一元二次方程

的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.新课引入

的两个根为x1，x2，则：ax2+bx+c又

ax2+bx+c=

于是.所以

即：这表明，当时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：

两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.例1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积：(1)(2)(3)（1）（2）整理得：（3）整理得：

课堂练习1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)5x2－3＝10x＋4.2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4时原方程无解，∴m＝6；(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15，不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.课堂小结2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?134.6一元二次方程根与系数的关系

141.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力．

1516方程两个根x1、x2的值两根的和两根的积x1x2x1+x2x1·x2x2+3x+2=0x2-5x+6=03x2+x-2=02x2-4x+1=021232-2-3-56-1请同学们观察下表17请同学们猜想：

对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1.x2，那么x1+x2，x1.x2与系数a，b，c

的关系.x1+x2=x1.x2=18

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2那么x1+x2=，x1·x2=.

如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2

那么

x1+x2=-p

x1·x2=q

归纳：19【解析】设方程的另一个根是x1，那么2x1=∴x1=.又+2=答：方程的另一个根是，m的值是-4.∴m=-4

【例1】已知方程3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另一个根及m的值.例题20x1+x2=，x1.x2=.【解析】由一元一次方程根与系数的关系，得（2）—+—=———=———=-5x11x1.x2x1+x2x21例题(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=21（1）（3，1）（2）（，）（3）（，0）（4）（0，）

（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=21.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）跟踪训练22（1）x2-6x-7=0（-1，7）（2）3x2+5x-2=0（，）（3）2x2-3x+1=0（3，1）（4）x2-4x+1=0（，）2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根?（口答）（√）（×）（×）（×）231.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（）A.－3，2B.3，-2C.2，－3D.2，3【解析】选A，根据根与系数的关系得：

x1+x2=-p=2+1=3，x1·x2=q=2，即p=－3，q=2.

242.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是

，m的值是

.3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（1）（x1+1)(x2+1）（2）—+—x1x2x1x216254.已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2.【