四川省泸州市高三第三次诊断数学（文科）试卷

2021年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．[1，2） B．（﹣1，1] C．（1，2） D．（﹣∞，2）2．复数z＝，则其共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大 B．随着车流密度增大，交通流量增大 C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出S的值为（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知平面向量，满足||＝，||＝1，|+|＝|﹣|，则|﹣2|＝（）A． B．5 C． D．76．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1+a4＝（）A．24 B．26 C．28 D．307．“m＝5”是“双曲线C：＝1的虚轴长为2”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，则ω的取值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．129．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则（）A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线 B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线 C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线 D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线10．函数y＝sinx﹣的图象大致是（）A． B． C． D．11．若asina﹣bsinb＜b2﹣a2，则（）A．|a|＜|b| B．a＜b C．|a|＞|b| D．a＞b12．已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，若AD＝DB＝BC＝CD＝1，∠ADB＝120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线y＝x3﹣x+3在点（1，1）处的切线方程为．14．若x，y满足约束条件，则z＝的最小值是．15．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a2a4＝9，2S2＝a3+a4，则a7＝．16．关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：①曲线C关于原点对称；②直线x＝1与曲线C有公共点；③曲线C上任一点的纵坐标的范围是[﹣，]；④曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．其中所有真命题的序号是（填上所有正确的序号）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[0，60]范围内，且规定分数在40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该地区体考学生成绩的平均数；（Ⅱ）将下面的2×2列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200附参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k018．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A+B）+＝2cos2．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝1，c＝，＝（λ＞0），且△ACD的面积为2，求λ的值．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为BC，AB1的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，且A1在底面ABC上的正投影恰为点M，求点A到平面BCC1B1的距离．20．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到其焦点的距离为1．（Ⅰ）求p和a的值；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P于两点C、D，求证：A、B、C、D四点共圆．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x＝1是函数f（x）的极值点，且关于x的方程mf（x）＝xe﹣x+m有两个实根，求实数m的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，记圆C1与圆C2异于原点的交点为A．（Ⅰ）求点A的极坐标；（Ⅱ）若过点A的直线l分别交圆C1和C2于M、N两点，求|MN|的最大值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x2﹣2x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝+，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．[1，2） B．（﹣1，1] C．（1，2） D．（﹣∞，2）解：∵全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝，则其共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i解：化简可得复数z＝＝＝＝﹣1+i，∴复数z的共轭复数为：﹣1﹣i故选：A．3．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大 B．随着车流密度增大，交通流量增大 C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出S的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12解：当i＝1时，满足进行循环的条件，S＝1，i＝2，当i＝2时，满足进行循环的条件，S＝2，i＝3，当i＝3时，满足进行循环的条件，S＝4，i＝4，当i＝4时，满足进行循环的条件，S＝7，i＝5，当i＝5时，满足进行循环的条件，S＝11，i＝6，当i＝6时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为11，故选：C．5．已知平面向量，满足||＝，||＝1，|+|＝|﹣|，则|﹣2|＝（）A． B．5 C． D．7解：平面向量，满足||＝，||＝1，|+|＝|﹣|，可得＝，可得＝0，则|﹣2|＝＝＝．故选：C．6．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1+a4＝（）A．24 B．26 C．28 D．30解：由题意S5＝5a3＝65，a3＝13，所以a1+a4＝a2+a3＝28，故选：C．7．“m＝5”是“双曲线C：＝1的虚轴长为2”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：①当m＝5时，双曲线为﹣＝1，∴b＝1，∴虚轴长为2b＝2，∴充分性成立，②若双曲线为+＝1虚轴长为2，当焦点在x轴上时，则，∴m＝5，当焦点在y轴上时，则，∴m＝﹣1，∴m＝5或m＝﹣1，∴必要性不成立，∴m＝5是双曲线+＝1虚轴长为2的充分不必要条件．故选：A．8．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，则ω的取值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12解：由已知可得：，则ω＝4k，k∈Z，所以当k＝1，2，3时，ω分别为4，8，12，故选：B．9．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则（）A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线 B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线 C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线 D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线解：由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝4，AB＝2，BE＝BB1，CF＝CC1，可得B1E＝3，D1E＝＝，CF＝2，AF＝＝2，AF≠D1E，连接BD，B1D1，设直线AF与平面BDD1B1交于H，可得H不在直线D1E上，且H∈平面BDD1E1，直线D1E⊂平面BDD1B1，又AF⊄平面BDD1B1，所以直线AF与D1E为异面直线，故选：B．10．函数y＝sinx﹣的图象大致是（）A． B． C． D．解：函数y＝sinx﹣是奇函数，排除D，函数y′＝cosx+，x∈（0，）时，y′＞0，函数是增函数，排除A，并且x＝时，y＝1﹣＞0，排除C，故选：B．11．若asina﹣bsinb＜b2﹣a2，则（）A．|a|＜|b| B．a＜b C．|a|＞|b| D．a＞b解：asina﹣bsinb＜b2﹣a2⇔asina+a2＜bsinb+b2，设f（x）＝xsinx+x2，∵f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）+x2＝xsinx+x2＝f（x），∴f（x）为偶函数，当x≥0时，则f′（x）＝sinx+xcosx+2x＝x（1+cosx）+（x+sinx），设g（x））＝x+sinx，则g′（x）＝1+cosx≥0恒成立，∴g（x）在x≥0时单调递增，且g（0）＝0，∴当x≥0时，g（x）≥0，又∵1+cosx≥0，即f′（x）≥0，∴f（x）在x≥0时单调递增，在x＜0时单调递减，∴|a|＜|b|．故选：A．12．已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，若AD＝DB＝BC＝CD＝1，∠ADB＝120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．解：作△CBD的外接圆，过B点作BD的垂线交△CBD的外接圆于点S，即SA⊥BD，连接SD，SA．如下图所示：则三棱锥C﹣ABD与三棱锥S﹣ABD的外接球为同一个，设△CBD的外接圆的半径为r，根据DB＝BC＝CD＝1可得r＝则⇒SB＝＝＝，设ABD的外接圆半径为r1，根据在△BAD中，由于∠ADB＝120°，DB＝CA＝1，得AB＝，根据正弦定理可得，解得r1＝1，则三棱锥C﹣ABD外接球的半径R2＝，棱锥C﹣ABD外接球的表面积为：．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸上）。13．曲线y＝x3﹣x+3在点（1，1）处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．解：∵y′＝3x2﹣1，∴y′|x＝1＝3×12﹣1＝2．∴切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），化为2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．14．若x，y满足约束条件，则z＝的最小值是﹣．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），z＝的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，∵，∴z＝的最小值为﹣．故答案为：﹣．15．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a2a4＝9，2S2＝a3+a4，则a7＝12．解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，则q＞0，若a2a4＝9，则a3＝＝3，若2S2＝a3+a4，即2（a1+a2）＝a3+a4，则q2＝＝2，则a7＝a3q4＝3×22＝12，故答案为：12．16．关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：①曲线C关于原点对称；②直线x＝1与曲线C有公共点；③曲线C上任一点的纵坐标的范围是[﹣，]；④曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．其中所有真命题的序号是①④（填上所有正确的序号）．解：关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：对于①：把点（﹣x，﹣y）代入曲线C：3x2+2xy+3y2＝1仍然成立，故①正确；对于②③：曲线C：3x2+2xy+3y2＝1可以看做关于x或y的一元二次方程，故△＝（2y）2﹣4×3×（3y2﹣1）≥0，解得，同理△＝（2x）2﹣4×3×（3x2﹣1）≥0，解得，故②③错误，对于④：在第一象限内：2xy＝1﹣3（x2+y2）≤x2+y2，故4（x2+y2）≥1，即，在第二象限内：﹣2xy＝3（x2+y2）﹣1≤x2+y2，整理得，即，所以曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．故④正确；故答案为：①④．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[0，60]范围内，且规定分数在40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该地区体考学生成绩的平均数；（Ⅱ）将下面的2×2列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200附参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算样本体考成绩的平均数为：＝5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05＝29.2，所以估计该地区体考学生成绩的平均数为29.2；（Ⅱ）根据题意与频率分布直方图知，非城镇与城镇学生人数之比为1：3，且样本容量为200，所以非城镇学生有50人，城镇学生有150人，计算城镇学生优良人数为150﹣115＝35（人），又因为优良学生的人数为（0.005+0.02）×10×200＝50，所以非城镇优良学生人数为50﹣35＝15（人），则非城镇不优良的学生人数为50﹣15＝35（人），填写2×2列联表如图所示：类别非城镇学生城镇学生合计优良153550不优良35115150合计50150200计算K2＝≈0.889＜2.706，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A+B）+＝2cos2．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝1，c＝，＝（λ＞0），且△ACD的面积为2，求λ的值．解：（Ⅰ）因为sin（A+B）+＝2cos2，所以sinC＝（2cos2﹣1），即sinC＝cosC，即tanC＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）在△ABC中，因为a＝1，c＝，C＝，由余弦定理可得b2﹣b﹣12＝0，解得b＝4，或﹣3（舍去），因为S△ABC＝4×1×sin＝＜S△ADC＝2，所以点D在BC延长线上，在△ACD中，AC＝4，∠ACD＝，则S△ACD＝AC•CD•sin∠ACD＝2，所以CD＝2，即BD＝BC+CD＝3，所以λ＝3．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为BC，AB1的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，且A1在底面ABC上的正投影恰为点M，求点A到平面BCC1B1的距离．解：（Ⅰ）证明：如图，连接NA1，A1C，因为N为AB1的中点，且四边形ABB1A1为平行四边形，所以N为A1B的中点，又M为BC的中点．∴MN∥A1C，∵MN⊄平面ACC1A1，且CA1⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）方法一：如图连接AM，A1M，B1C，在△ABC中AM＝＝2，在△AMA1中∠AMA1＝900，AM＝2，AA1＝，∴A1M＝1．∴三棱锥B1﹣ABC的体积为V＝•A1M＝．∵A1M⊥平面ABC，∴A1M⊥BC，又因为AB＝AC且M为BC中点，所以BC⊥AM，BC⊥平面A1MA，∴BC⊥AA1，∵AA1∥BB1，∴BC⊥BB1，从而S＝．设A到平面BCC1B1的距离为h，∵V＝V，∴，解得h＝．即点A到平面BCC1B1的距离为．方法二：如图连接AM，A1M，取线段B1C1的中点为P，连接PA1，PM，因为AA1∥MP且AA1＝MP．所以四边形AMPA1为平行四边形，∵A1M⊥平面ABC，∴A1M⊥BC，又因为AB＝AC且M为BC中点，所以BC⊥AM，BC⊥平面A1PMA，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面A1PMA，又因为AA1∥平面BCC1B1，所以点A到平面BCC1B1的距离为平行直线AA1与MP的距离．过M作直线AA1的垂线，交直线AA1于E，在△ABC中AM＝＝2，在△AMA1中∠AMA1＝900，AM＝2，AA1＝，∴A1M＝1．由AA1•ME＝AM•MA1，得ME＝．即点A到平面BCC1B1的距离为．20．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到其焦点的距离为1．（Ⅰ）求p和a的值；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P于两点C、D，求证：A、B、C、D四点共圆．解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，∵点（，a）到其焦点的距离为1，∴，即p＝，∴抛物线方程为y2＝x，又点（，a）在抛物线上，∴，即a＝；证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣y+m＝0，则y1+y2＝1，y1y2＝m，且1﹣4m＞0，即m＜，则|AB|＝＝＝，且线段AB中点的纵坐标为，则x＝，∴线段AB的中点M（，），∵直线CD为线段AB的垂直平分线，直线CD的方程为y＝﹣x+1﹣m，联立，得y2+y+m﹣1＝0．设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3+y4＝﹣1，y3y4＝m﹣1，故|CD|＝•|y3﹣y4|＝＝．线段CD的中点为N（，﹣），∵，＝，∴|AN|＝|CD|，∴点A在以CD为直径的圆上，同理点B在以CD为直径的圆上，故A、B、C、D四点共圆．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x＝1是函数f（x）的极值点，且关于x的方程mf（x）＝xe﹣x+m有两个实根，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx﹣ax+a，x＞0，∴f′（x）＝﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）递增；综上：当a≤0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，）．（Ⅱ）∵f′（x）＝﹣a，x＝1是函数f（x）的极值点，∴f′（1