人教版八年级数学下册 （勾股定理）课件

第十七章

勾股定理17.1勾股定理

学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想。（重点也是难点）

2.会用勾股定理进行简单的计算。（重点）即四个词：了解、认识、证明和计算。勾股定理的历史勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系（即直角三角形三边关系），古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。勾股定理也有很多别称，也叫毕达哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驴桥定理和埃及三角形等。

勾股定理被誉为“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。在我们今后的几何计算题和推理题中都有着广泛的应用。迄今为止，勾股定理大约有500多种证明方法，是证明方法最多的定理之一。探究新知勾股定理的认识及验证

相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，看到朋友家用砖铺成的地面图案，发现了直角三角形三边的某种关系（如图）：ABC问题1

试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？

问题2

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？ABC一直角边2+另一直角边2=斜边2等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。问题3

网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？探究新知方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：根据前面求出的C的面积直接填出下表：

A的面积B的面积C的面积左图右图491316925也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。一直角边2+另一直角边2=斜边2由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）abc下面动图形象的说明命题1的正确性我们的猜想该如何证明呢？abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.=abc∵S大正方形＝c2，又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，证法2

毕达哥拉斯证法如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.公式变形：abc归纳总结勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.ABC

现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2小贴士

为什么叫勾股定理这个名称呢？

国外又叫毕达哥拉斯定理

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°(2)在Rt△ABC中，∠C=90°CAB新知应用abc注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长2.规范书写格式（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳新知应用CABabc【变式2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²当堂练习3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或24当堂练习5.图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5当堂练习结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7

变式训练11美丽的勾股树通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．当堂小结1.内容及方法本节课学习了著名的勾股定理并会运用勾股定理求直角三角形的边长，还知道从特殊到一般的探索方法.2.数学思想

借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。通过本节课的学习你有哪些收获呢？基础题：1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；

(2)已知：a=40，c=41，求b；

(3)已知：c=13，b=5，求a；

(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.作业布置能力题：2.已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，AC＝３,则BC的长为多少？综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．17.1勾股定理第十七章勾股定理第1课时

情境引入学习目标1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）导入新课算一算：地板中的数学问题

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：毕达哥拉斯ABC穿越毕达哥拉斯做客现场问题1

试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=ABC

问题2你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？一直角边2另一直角边2斜边2+=看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理图1-2问题3图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图①、②中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？图①图②ABABCCA的面积B的面积C的面积图①图②169254913网格中的发现正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=

问题4图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？一直角边2另一直角边2斜边2+=讲授新课猜一猜一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2)吗？abc勾股定理一赵爽拼一拼请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.勾股定理的验证二abbcabcc2b2a2=+这种用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法aabcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形赵爽弦图b-a证明：证一证

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.赵爽弦图cba

黄实朱实2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同学们课外认真阅读P30《勾股定理的证明》.归纳总结在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：勾股弦即：勾2+股2=弦2勾股定理

例1在Rt△ABC中，∠C=90°典例精析

（1）已知a=b=5,求c;

（2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;（4）已知b=15，∠A=30°,求a,c.

在Rt△ABC中，∠C=90°解：(3)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得(4)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得例2已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则BC=

.5

或43ACB43CAB温馨提示当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.当堂练习1.如图所示，字母B所代表的正方形的面积是（）A.12B.13C.144D.194C2.下列说法中正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在R