“绳模型”做完整圆周运动的临界条件(全文)

精品文档-下载后可编辑“绳模型”做完整圆周运动的临界条件(全文)中学阶段研究竖直平面内的圆周运动时总结了一些规律性的结论.其中，以“绳模型”为例，重点研究了小球在竖直平面内能做完整的圆周运动时，在最低点、最高点的速度条件以及相应绳的受力情况等.多数学生较为深刻的掌握了最低点、最高点运动的的运动学和动力学的规律特点.不过与此同时，似乎给学生留下一种思维定势，似乎研究圆周运动，只停留在最高点和最低点运动情形，除了这两个特殊点以外，圆周轨迹其他任意位置的运动特点是学生关于圆周运动的学习盲区，学生甚少关注或是根本不清晰其他位置的运动特点.因此，容易发现我们在教学圆周运动时，只教学了它的特殊性，而忽视了它的一般性.实质上，我们应该以更宽的视角来研究圆周运动的整体构架，让学生对圆周运动的整体性和连续性有一定的把握和了解.

在竖直平面内的圆周运动，是有重力参与提供向心力的，如果没有其他的切向力，竖直面上的圆周运动肯定是非匀速率的，机械能是守恒的，在水平直径以上，圆周运动的每个位置都可能是某个速度条件下，各点均存在一定的速度临界值，物体存在能做圆周运动的临界条件.

为此，笔者将以绳模型为基点，研究圆周运动，水平直径以上各点的临界速度，并将弹力的方向指向圆心和背向圆心分为两种情况并结合具体事例进行分析：

1水平直径以上各点弹力的方向指向圆心

例如系在绳上的小球，过山车……

T+mgsinθ=mv2R2，

当T=0时v临界=gRsinθ.

在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整圆周运动的条件是v≥gRsinθ.

例1如图2，一个长为a的细线系着一个小球悬挂在O点静止不动.若使小球获得一个水平初速度为v0=（2+3）ag，略去空气阻力.证明：小球的运动轨迹经过O点.

分析与解小球运动轨迹会通过悬点O，是因为线绳在水平直径上方与水平直径成某一角度α时，线绳不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动，如图3所示.我们先来求出绳上张力为零时，小球达到临界速度v=gasinθ时的方位角α.整个运动过程中只有重力做功，机械能守恒，则有

12mv2=12m（（2+3）ag）2+mga（1+sinα），

3agsinα=v20-2ag，sinα=33.

故这个位置在距水平直径h=33a高处.

此后，小球做斜上抛运动，以抛出点为原点建立直角坐标系xO′y，我们从竖直方向分运动求出当小球竖直位移为-h的历时t：

-h=vtcosα-12gt2；

将h=33a，cosα=63，v=33ag

代入后整理得3gt2-223agt-23a=0，

由此方程解得符合题意的时间为t=23ag；这段时间内小球完成的水平位移为

x=vtsinα=33ag・23ag・33=63a=acosα，

说明小球做斜抛运动过程中，经过了坐标为（63a，-33a）的悬点O.

2在水平直径以上各点的弹力方向背离圆心的情况

例如车，过拱桥……

mgsinθ-N=mv2R2，

当N=0，v临界=gRsinθ.

在水平直径以上的各点，不脱离轨道而做完整圆周运动的条件是

v≤gRsinθ.

例2一个质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任一点P，在重力的作用下由静止开始下滑，从Q点离开球面，求PQ两点的高度差h.

分析与解如图5，质点从P点运动到Q点，除重力外，无其他力做功，是一个机械能守恒的过程：重力势能的减少等于动能的增加；质点在Q点只受重力，设球的半径为R，质点的速度为v，由机械能守恒得m