2023新教材高中数学第5章三角函数章末综合提升教师用书新人教A版必修第一册

第5章三角函数章末综合提升类型1三角函数式的化简与求值本章主要学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα．注意应用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．在倍角公式中特别关注cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α及其变形．(2)诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【例1】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则eq\f(sin4α,1＋cos2α)的值为__________．(2)化简：eq\f(1＋sinα＋cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(π<α<2π)．(1)－eq\f(4\r(2),15)[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝eq\f(1,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3)．又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－eq\f(2\r(2),3)．∴cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(1＋\f(1,3),2)＝eq\f(2,3)．∴eq\f(sin4α,1＋cos2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(2,3))＝－eq\f(4\r(2),15)．](2)[解]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))＝eq\f(2cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝eq\f(cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(α,2)－cos2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝－eq\f(cos\f(α,2)cosα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))．∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π．∴coseq\f(α,2)<0．∴原式＝cosα．类型2三角函数的图象与性质(1)三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，一般先通过恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换．【例2】(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2(2)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x．①求f(x)的最小正周期和最大值；②讨论f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．(1)D[因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))．故选D．](2)[解]①f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq\f(2－\r(3),2)．②当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)时，f(x)单调递增，当eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤π，即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．类型3三角函数模型的应用如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型－－三角函数模型．在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活运用．【例3】如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．(1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m．[解](1)建立如图所示的平面直角坐标系．设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角，OP在tmin内转过的角为eq\f(2π,2)t，即πt．∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin