北京首都医科大学附属中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析

北京首都医科大学附属中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．32 B．33 C．34 D．35参考答案：A【考点】茎叶图．【分析】根据中位数相同求出m的值，从而求出甲的平均数即可．【解答】解：由乙的数据是：21，32，34，36得中位数是33，故m=3，故=（27+33+36）=32，故选：A．【点评】本题考查了中位数和平均数问题，考查茎叶图的读法，是一道基础题．2.已知，则（）A．

B． C．

D．参考答案：A略3.若集合，且，则集合可能是A.B.C.D.参考答案：A4.已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于(

) A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．参考答案：D考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答： 解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．5.已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，，则的值为

A．

B．-5

C．

D．-6参考答案：C6.已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．7.若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．8.已知曲线(为参数).若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，则的值为（

）A. B. C.1 D.参考答案：C分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长。详解：根据，求出曲线C的普通方程为，圆心到直线的距离，所以弦长，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题。9.定义在R上的函数满足：成立，且上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知集合，则的真子集个数为（

）A．1

B．

3

C．5

D．7参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，f（x）的单调减区间是．参考答案：（﹣2，0）考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 函数的性质及应用．分析： 求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．解答： 解：f′（x）=xex+x2ex=x（x+2）．令x（x+2）＜0得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）点评： 求函数的单调区间常利用的工具是导数；导函数的符号判断函数的单调性．12.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为

的直线与曲线，（t为参数（相交于A，B两点．则|AB|=

．参考答案：略13.已知奇函数则的值为

.参考答案：-814.已知集合

，B

,则

参考答案：略15.已知，若，则=

.参考答案：略16.如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是

.参考答案：504917.若tanα=3，α∈(0,)，则cos(α－)=__________．参考答案：解析：由，可得．又，结合，可得，．，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是

的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．参考答案：（Ⅰ）分别为的中点，∥又平面，平面∥平面.………………5分（Ⅱ）连结，，为中点，,

⊥，.同理,⊥，.又,,，⊥.⊥,⊥,,⊥平面.又平面，平面⊥平面.……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面为三棱锥的高，且.…………14分

19.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间高考资源网；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且且的面积为，求边的值.参考答案：(I)==令，得 ,f(x)的递增区间为。

………………6分(Ⅱ)由,得①……………10分由余弦定理得……………12分20.（本小题满分14分）

已知函数的定义域为R，对任意的、都满足，当

（I）试判断并证明的奇偶性；

（II）试判断并证明的单调性；

（III）若均成立，求实数m的取值范围。参考答案：解：（I）略为奇函数，

（II）略在R上为增函数

（III）

21.（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）

求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.参考答案：（I）由得

()因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分（II）由（I）可知,