专题06三角函数的概念与公式

专题06三角函数的概念与公式一、知识速览二、考点速览知识点1任意角与弧度制1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2知识点2任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2、商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3、基本关系式的几种变形（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．（2）(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.（3）sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).4、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。知识点4三角恒等变换公式1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α±β)都有意义．2、二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)3、辅助角公式一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).一、确定角终边所在象限的方法法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。【典例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】ACD【解析】是第三象限的角，则，，所以，；当，，在第一象限；当，，在第三象限；当，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD【典例2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】BD【解析】由已知得，，所以，，当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）若是第二象限角，则（）A．是第一象限角B．是第一或第三象限角C．是第二象限角D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可【解析】因为是第二象限角，所以可得．对于A，，则是第三象限角，所以A错误;对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．故选：BD．二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。【典例1】（2023·上海·统考模拟预测）已知为角α终边上一点，则=．【答案】【解析】为角α终边上一点，，则，，.【典例2】（2023秋·吉林长春·高三长春市第十七中学校考开学考试）如果角的终边在直线上，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角的终边在直线上，所以.所以.故选：B.【典例3】（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（）A．B．1C．0D．2【答案】BC【解析】由题设，故，整理得，所以或.故选：BC三、对sinα，cosα，tanα的知一求二问题1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的灵活应用3、知切求弦：先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方关系求解【典例1】（2023春·湖南永州·高三统考）已知，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵且，∴，故选：B.【典例2】（2023·西藏拉萨·统考一模）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，所以，所以，故选：D．【典例3】（2023秋·福建·高三厦门第二中学校考开学考试）若，,则.【答案】【解析】因为，则，，又因为，则，且，解得或（舍去）,所以.故答案为：.四、已知tanα求sinα，cosα齐次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．【典例1】（2023秋·江西·高三南昌外国语学校校考）若，则.【答案】【解析】，.故答案为：.【典例2】（2023·江苏·南京市第一中学校考模拟预测）已知，则．【答案】/【解析】,故答案为：.【典例3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值是．【答案】5【解析】因为，所以，故答案为：5.五、sinα±cosα与sinαcosα关系的应用对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【典例1】（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可得，..又

A为第四象限角，又所以，.所以.答案：C.【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，且，则下列结果正确的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，故A错误；因为，又，所以，所以，故B正确；，又，所以所以，故C错误；联立解得，所以，故D错误；故选：B.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知为第三象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，两边平方得，即，又因为为第三象限角，且，所以，，所以，所以，则．故．故选：D．五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤eq\x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】.同理，，所以点P位于第一象限．故选：A．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则＝.【答案】【解析】∵，.又，，，，原式.故答案为：.【典例3】（2022秋·浙江金华·高三校考）已知为第三象限角，=.【答案】【解析】,故答案为：.七、给值求值问题的求解策略1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：等.【典例1】（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知，，，，则的值为．【答案】【解析】，即又因为，所以，所以，因为，，所以，又，所以，而，所以.【典例2】（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知，则.【答案】/【解析】因为，，，因为，所以，所以，故，故答案为：.【典例3】（2022秋·天津·高三校考）已知，则的值是.【答案】【解析】因为，所以八、给值求角问题的求解策略“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.【典例1】（2022秋·江西·高三校联考）已知，，且，，则的值是.【答案】【解析】因为，，且，，所以，，且，则，所以.【典例2】（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则，因为，则，可得，因为，则，，所以，，，所以，，所以，.故选：A.【典例3】（2023秋·湖北·高三武汉第六中学校考）已知、是方程的两个根，且，则等于（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】方程中，，则，于是，显然，又，则有，，所以.故选：B九、三角函数式的化简要遵循“三看”原则【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，，由的性质可知，，故选：A.【典例2】（2022秋·安徽·高三六安二中校考）化简的结果是（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】.故选：A.【典例3】（2022秋·河北·高三张家口市第一中学校考期中）等于（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】由故选：A易错点1对任意角的理解不到位点拨：根据任意角的定义，顺时针旋旋转为负角，逆时针旋转为正角。【典例1】（2022·全国·高三专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（）A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°【答案】D【解析】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是.故选：D．【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针，其大小为，故时针需要旋转弧度，故选：A.易错点2三角函数定义中，忽略点坐标值的正负点拨：在应用三角函数定义时，要注意对参数正负进行讨论。【典例1】（2022秋·河南·高三校联考）已知角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．1或D．或【答案】D【解析】由题意可得：点P与原点间的距离，∴.当时，则，故；当时，则，故.故选：D.【典例2】（2022秋·山东·高三宁阳第四中学校考）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】由题意知：(1)若m>0时，有∴(2)若m<0时，有∴综上，知：一定为负值的有、，故答案为：AB易错点3忽略角所在的象限点拨：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的符号。【典例1】（2023·全国·高三专