2017北京中考各区一模四边形问题整理

2017年北京市各区一模四边形问题整理西城23.如图，在□ABCDQUOTEABCD中，对角线BD平分∠ABCQUOTE∠ABC，过点A作AEQUOTEAE∥BD，交CD的延长线于点QUOTEEE，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC=45°QUOTE∠DCF=45°，BC=2，求EF的长.东城23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=，求平行四边形ABCD的周长． 朝阳23.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E.（1）求证：四边形ADBE是矩形;（2）连接DE,交AB于点O,若BC=8，AO=，求cos∠AED的值.海淀23.如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．平谷23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：DE=DF；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的长．通州23．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．房山21.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）填空：=1\*GB3①如果AB=AC，四边形ADCF是形；=2\*GB3②如果∠BAC=90°，四边形ADCF是形；．门头沟23.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）请判断△CMN的形状，并说明理由；（2）如果，，求线段MN的长．石景山23．如图，在□中，过点作⊥于点，⊥于点，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．丰台23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．顺义23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=，OA=1，求OC的长.参考答案西城23.(1)证明：在□ABCDQUOTEABCD中，AB∥CD．∴∠ABD=∠BDC．∵BD平分∠ABCQUOTE∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∴∠BDC=∠DBC．∴BC=CD．∴四边形ABCD是菱形． 2分(2)解：由（1）可得，AB∥CD，CD=BC=AB=2．∴∠ECF=∠ABC=45°QUOTE∠DCF=45°．∵AEQUOTEAE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴DE=AB=2．∴CE=4．在Rt△ECF中，∠ECF=45°，CE=4，∴EF=． 5分东城23.解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠FAD=∠AFB.又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD=∠FAB.∴∠AFB=∠FAB.∴AB=BF.∴BF=CD.…………3分（2）解：由题意可证△ABF为等边三角形，点E是AF的中点.在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，可求EF=2，BF=4.∴平行四边形ABCD的周长为12.…………5分朝阳23.证明：(1)∵AE∥BC，BE∥AD,∴四边形ADBE是平行四边形.∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.∴四边形ADCE为矩形.（2）∵在矩形ADCE中,AO=,∴DE=AB=5.∵D是BC的中点，∴AE=DB=4∴在Rt△ABD中，cos∠ABD=.海淀23．（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即EF=BC．-------------------1分∵在ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．------------------2分∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴AEFD是矩形．------------------------------3分（2）解：∵AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴．∴∠BAF=90°．-----------------------------------------------4分∵AE⊥BF，∴.∴．------------------------------------------------5分平谷23．（1）证明：∵EF垂直平分BD，∴EB=ED，FB=FD． 1∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABD+∠BEG=90°，∠CBD+∠BFG=90°，∴∠BEG=∠BFG．∴BE=BF．∴四边形BFDE是菱形．∴DE=DF． 2（2）解：过D作DH⊥CF于H．∵四边形BFDE是菱形，∴DF∥AB，DE=DF=4．在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，∴DH=2．∴FH=． 3在Rt△CDH中，∠C=45°，∴DH=HC=2． 4∴CF=2+． 5通州23．（1）①………………..(2分)四边形DBFC是平行四边形………………..(3分)（2）①过点C作CH⊥BF于点H,………………..(4分)②………………..(5分)房山21.证明：（1）∵AF∥BC∴∠AFB=∠FBD，∠FAD=∠BDA∵点E是AD的中点∴AE=DE∴△FEA≌△BED------1分∴AF=BD∵AD是BC边的中线，∴BD=DC∴AF=DC------2分又∵AF∥BC∴四边形ADCF是平行四边形------3分（2）=1\*GB3①当AB=AC时，四边形ADCF是矩形------4分=2\*GB3②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形------5分门头沟23.（1）结论：等腰三角形……………1分理由：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM=∠CMN.∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.即△CMN为等腰三角形………………2分（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形.∴HC=DN，NH=DC.∵MC=3ND∴MH=2HC.………………3分设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CN=CM=3x.在Rt△CDN中，DC==4，∴,∴HM=.………………4分在Rt△MNH中，MN=.………5分石景山23．（1）证法一：连接，如图1．∵⊥，⊥，，图1∴．图1∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．∴．…………………1分∴□是菱形．…………………2分证法二：∵四边形是平行四边形，如图2．∴．∵⊥，⊥，∴．图2又∵，图2∴≌．∴．…………………1分∴□是菱形．…………………2分（2）解法一：连接，如图3．∵⊥，⊥，，∴．…………3分∵四边形是菱形，∴．…………4分图3在中，．……5分图3解法二：∵四边形是菱形，如图4．∴，．∵⊥，∴．…………………3分在中，．设，，∴．图4∴．图4∴．…………………4分∴．∴．…………………5分丰台23.解：（1）∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，∴EB=AE=CE=12.∵DE⊥AC，DE=5，∴在Rt△ADE中，由勾股定理得AD===13．…2分（2）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=AE+CE=24，∴BC=12，AB=AC·cos30°=12．………3分∵DE⊥AC，AE=CE，∴AD=DC=13．………………4分∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+12．…5分顺义23．（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．……………………1分∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．……………2分∴∠1=∠2．又∵AB=AD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠