2019中考备考冲刺23-第16练

23冲刺练习--第16练姓名：_________用时：__________正确率：_________错因分析：____________________________________________1、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）求线段DE的长．2、如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B，F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M，P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．（1）求证：＝；（2）若ED、EA的长是一元二次方程＝0的两根，求BE的长；（3）若MA＝，sin∠AMF＝，求AB的长．3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；如图3，当∠ADC=α时，求的值.解析：1、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是+；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）求线段DE的长．【分析】（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案；（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即=，求得EF的长即可得．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=+×5×5=+，故答案为：+；（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴=，即=，∴，∴DE=DF+EF=+5=．【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键．2、如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B，F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M，P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．（1）求证：＝；（2）若ED、EA的长是一元二次方程＝0的两根，求BE的长；（3）若MA＝，sin∠AMF＝，求AB的长．思路分析：（1）证明∠BEE＝∠EBC；（2）证明△EBD∽△EAB得到EB2＝ED·EA，根据一元二次方程的根与系数关系得到ED·EA＝5，从而求出BE长；（3）过点B作BG⊥AM，垂足为点M，转化为求AG、BG长．解：（1）如图，连接OA、AF．∵BF是⊙O的直径，∴∠ABF＋∠F＝90°．∵MA切⊙O于点A，∴OA⊥MA．∴∠MAO＝90°，即∠PAB＋∠BAO＝90°．∴∠ABF＋∠F＝∠PAB＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABF＝∠BAO．∴∠F＝∠PAB．∵∠F＝∠E，∴∠PAB＝∠E．∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，即∠PAB＋∠BAE＝∠EBC＋∠E．∴∠BAE＝∠EBC．∴＝．（2）∵∠BAE＝∠EBC，∠E＝∠E，∴△EBD∽△EAB．∴＝，即EB2＝ED·EA．∵ED、EA的长是一元二次方程＝0的两根，∴ED·EA＝5．∴EB2＝5．∴EB＝（舍去负值）．（2）在△AOM中，∵sin∠AMF＝，∴＝．设OA＝，则OM＝．在△OAM中，由勾股定理得OA2＋AM2＝OM2．∴＝．解得＝3（舍去负值），即OA＝3．∴OM＝9，BM＝OM－OB＝9－3＝6．过点B作BG⊥MA，垂足为点G，则BG∥OA．∴＝＝，即＝＝．∴MG＝，BG＝2．∴AG＝MA－MG＝＝．在△ABG中，由勾股定理得AB＝＝＝．3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；如图3，当∠ADC=α时，求的值.【考点解剖】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等腰（等边）三角形的性质，三角函数，综合性比较强.【解题思路】（1）由特殊角及等腰三角形判定：等角对等边易得相等；先判定△AMF≌△BME，再求出∠BCE和∠CBE的度数，得到∠EBC=∠ECB，从而判定BE=CE，然后由三线合一得到∠EDM=30°，最后利用特殊角三角函数值得到答案；类比（2）的方法解决第三问，得到，从而得出结论.【解答过程】解：（1）MD=ME;MD=ME，理由如下：如图1，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM.又∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME.∴FA=BE，MF=ME.∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°.∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∵BE∥AD，∴∠BED=∠CDA=60°，∴∠BEC=∠BED-∠BCE=30°.∴∠EBC=∠ECB.∴CE=BE.∴AF=CE.∴DF=DE.∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°.在Rt△MDE中，tan∠MDE=,∴MD=ME.如图2，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，又∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME.∴AF=BE，MF=ME.延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC.∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC.∴∠BNC=∠DCA.∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE.∴AF=CE,∴DF=DE.∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MD