电磁场与电磁波课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法

§3.1直接积分法边界条件积分之，得通解

例3.1设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图体电荷分布的球形域电场第四章静态场及边值问题的解法§3.1直接积分法边界条件积分之，得通解例3.1设1解得电场强度（球坐标梯度公式）：

对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度E的分布。电位：解得2§3.2直角坐标系中的分离变量法

分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解题的一般步骤：

根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；

分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；

解常微分方程，并叠加各特解得到通解；

利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。§3.2直角坐标系中的分离变量法分离变量法是一种最经3直角坐标系中的拉普拉斯方程:设，则方程变为：上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：其中直角坐标系中的拉普拉斯方程:设，则方程变为：上式成立的唯一4以常微分方程

为例，其解的形式为：

常微分方程的解：若

为零，则

若为实数，则

若为虚数，设则

如右图双曲正弦曲线，通过原点对原点对称，双曲余弦曲线，不通过原点，对Y轴对称，顶点（同极小点）：A(0,1)

以常微分方程为例，其解的形式为：5

例3.2

图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图接地金属槽的截面例3.2图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与62)分离变量代入式（1）有根据可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值2)分离变量代入式（1）有根据可能的取值，可有6个常73）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。

图双曲函数3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条8d）比较系数法：当时，（D域内）当时，

满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。d）比较系数法：当时，（D域内）当9

根据经验也可定性判断通解中能否舍去或项。

若，

利用sin函数的正交性来确定。等式两端同乘，然后从

0到

a对

x积分图接地金属槽内的等位线分布根据经验也可定性判断通解中能否舍去10例3.3求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除z＝c面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Z＝c表面上给定的电位函数为U（x，y）。

解：分离变量，令

(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)有二个独立的本征值。边界条件可分解为：

X(0)=X(a)=0Y(0)=Y(b)=0

例3.3求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除z＝c面电位11利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。

是待定常数，要解出使方程有非零解的

值和此非零解X(x)。该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征值）问题。

称为该问题的固有值（特征值），X(x)称为该问题的固有（特征）函数。利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。是待定常数，要解出12分三种情况讨论。（1）设

<0，常微分方程的通解为根据边界条件

A＝B＝0，X(x)无非零解。

不能小于零。

（2）设

＝0，常微分方程的通解为代入边界条件同样得：A＝B＝0。X(x)无非零解。

不能等于零.。（3）设

>0，令

＝

2，常微分方程的通解为代入边界条件,A＝0，Bsin

a＝0，B不能为零，否则只有零解。所以sin

a＝0，

分三种情况讨论。（1）设<0，常微分方程的通解为根据边界条13其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有函数分别为:所以两方程组的解分别为:其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有14满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为15为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加。

从已知边界条件

根据线性齐次方程的叠加原理，通过调整系数可使

(x,y,z)满足所有边界条件。为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加。从已知边界条件16将U（x，y）展开成双重傅立叶级数比较系数可得

原定解问题的解是

将U（x，y）展开成双重傅立叶级数比较系数可得原定解问题17§3.3圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：§3.3圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：18电磁场与电磁波ppt课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法19电磁场与电磁波ppt课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法201）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例3.4在均匀电场中，放置一根半径为a，介电常数为的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与垂直。柱外是自由空间。试求圆柱内外电位函数和电场强度的分布。根据场分布的对称性图均匀电场中的介质圆柱棒1）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）213）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当时，当时，2）分离变量,设代入式（1）得或3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当时22根据根据，比较系数得当时，4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性当时，通解中不含的奇函数项，根据根据，比较系数得23解之，得比较系数法：当时，得当时，，则最终解c）由分界面的衔接条件，得解之，得比较系数法：当时，得当时24

介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。因，，所以。

介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场。

图均匀外电场中介质圆柱内外的电场介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。25§3.5镜像法思路:

用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。保持求解区域中场方程和边界条件不变。使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。步骤:确定镜像电荷的大小和位置。去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。求解边界上的感应电荷。求解电场力。§3.5镜像法思路:261、点电荷关于无限大导体平面的镜像当电荷附近存在着导体面或介质面时,利用分离变量法直接求解拉普拉斯或泊松方程比较困难,当导体面或介质面的形状比较特殊时,往往可以将导体面上的感应电荷或介质面上的极化电荷用假想的电荷(镜像电荷)来代替并用来计算电位分布.关键是要确定镜像电荷的位置、大小和符号，使场量原来所满足的方程及及其边界条件保持不变。若能做到这一点，则根据静电场唯一性定理，用镜像法求出的解就成为所要求的场的唯一解。我们无法对任何形状的导体面或介质面,找出其镜像电荷,事实上只能一些特殊几何形状的导体面或介质面才能做到这一点。1、点电荷关于无限大导体平面的镜像当电荷附近存在着导体面或介27如右图,在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷无限大接地导体平面上方有点电荷q

分析:用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。如右图,在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，28电磁场与电磁波ppt课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法292.点电荷关于导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)图1.7.3点电荷对接地导体球面的镜像2.点电荷关于导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，30由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图点电荷位于接地导体球附近的场图

镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4接地导体球外的电场计算由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图点31例设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，试分析如何求解这一电场。解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为

的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。

3、点电荷关于无限大相交导体平面的镜像例设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，32原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。。

对于夹角为的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题，只要n为整数，在区域内，可用镜像法解决。原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来334.点电荷关于无限大介质分平面的镜像边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)图点电荷对无限大介质分界面的镜像和4.点电荷关于无限大介质分平面的镜像边值问题：(下半空间)34解：

（1）线电荷

l1在空间产生场强任取Q点作为参考点，则线电荷

l1在空间一点电位例:半径为a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为

l1，与圆柱相距为d1。求空间电位函数。

5.线电荷关于无限长圆柱导体的镜像例:半径为a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为35（2）设

l1的镜像电荷

l2在原点与

l1的垂直连线上，与圆柱轴线距离的d2＝a2/d1

圆柱接地，在通过P2的直径与圆周的两交点上的电位为零。

代入d2＝a2/d1

可得（2）设l1的镜像电荷l2在原点与l1的垂直连线上，36镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。

空间一点的电位

镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。空间一点的电位37（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。

（4）如果圆柱不接地且线电荷密度为－pl1，此时相当于在（3）的基础上，再在轴线上加线电荷密度为－pl1，与（2）情况相同。

（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以保持原边界条38当r1/r2＝k为常数时，

为常数，等位面是偏心圆柱面族。图表示线电荷pl1和其镜像pl2形成的电力线和等位面图当r1/r2＝k为常数时，为常数，等位面是偏心圆柱面族。39如果取k＝1的面为零电位面，则圆柱面是等位面中的一个。在圆柱之外此图描述了带单位长度电荷－pl1的导电圆柱和线电荷pl1共同形成的电场。镜像线电荷可看成是导体圆柱上电荷的对外作用中心线，称为等效电轴。同理将图中右侧的某一等位面用导体圆柱代替，不会影响柱外的电位和电场分布，只要导体圆柱带有单位长度电荷pl1。原来线电荷pl1的位置可看成是该导体圆柱的电轴。

如果取k＝1的面为零电位面，则40当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。1．差分原理设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量

x＝h，相应f(x)的增量为：

f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当h很小时，

f(x)

df(x).§3.5有限差分法当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用41中心差分

f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一阶差商：二阶差商偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。

中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一阶差422．以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。设边值问题是(1)决定离散点的分布方式。按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结点。设结点O上的电位为

(xo,yo)=

o,结点1，2，3，4上的电位为

1，

2，

3，

4。2．以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组43任一点x的电位考虑1，3两点x1=xo+h,x3=xo-h任一点x的电位考虑1，3两点x1=xo+h,x3=xo-h44电磁场与电磁波ppt课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法45边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。3．差分方程的解法设将场域划分如图.边界上的值分别为f1,………f16。在各内点上作出差分，泊松方程变成下列差分方程组边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(46电磁场与电磁波ppt课件高教版-第四章-静态场边值问题的解法47解出关于

1，

2…..

9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用解出关于1，2…..9的代数联立方程组，即可求出各点48计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的49如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。如（j，k）点在