余弦定理优质课教案市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

余弦定理第1页1、向量数量积：2、勾股定理：AaBCbc证实：相关知识复习：第2页AaBCbcAcbAbc当时，当时，当时，AB边大小与BC、AC边大小和角C大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？新课导入：在△ABC中第3页问题：若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：第4页余弦定理：三角形任何一边平方等于其它两边平方和减去这两边与它们夹角余弦积两倍。余弦定理能够处理以下两类相关三角形问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们夹角，求第三边和其它两个角。第5页ABCabcD（1）当角C为锐角时过A作ADCB交CB于D在Rt中在中证法2：第6页（2）当角C为钝角时过A作ADCB交BC延长线于D在Rt中在中bAacCBD（3）当角C为钝角时，由勾股定理知依然成立。第7页bAacCB证法3：以CB所在直线为X轴，过C点垂直于CB直线为Y轴，建立如图所表示坐标系，则A、B、C三点坐标分别为：第8页

利用余弦定理，能够处理：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其它两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝第9页例1：在

ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()第10页例2：在

ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由余弦定理c2=a2＋b2－2abcosC,=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.第11页ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.第12页ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).第13页ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=αβ第14页解：在

AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夹角为120且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b与a夹角.a－ba＋bBbACa120°O在

OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°＝21,∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b与a夹角约为49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b第15页例5已知四边形ABCD四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:

BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思索：若A=θ,怎样用θ表示四边形ABCD面积？第16页练习：

ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,则C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.第17页研究题

总结解三角形方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？