理工类线代习题第一章行列式

第一 行列一. 解.a12a21a33a441234,0;2134,1.该项符号为“－”,所以答案为a12a21a33a44. 次对换后变为排列解.i1i2⋯in12+n－1)n(n－1)/2在五阶行列式中(1)(15423)(23145)aaaa

aaaaa12534124

12534124解154235,231452,f(x)1

中,x3的系数 解.x3的系数只要考察2

xx

4x2.x3ab05.ab为实数,a,b时a000 解.

01

b(a2b20.ab

在n阶行列式D=|aij|中,当i<j时aij=0(i,j=1,2,⋯,n),则D 解.M

an

O

设A为4×4矩阵,B为5×5矩阵,且|A|=2,|B|=－2,则|－|A|B| ,|－|B|A|.解.||A|B||A|)5|B|252)64||B|A|(|B|)4|A|(2)42A3×3矩阵,|A|=－2,AA

A2A

,Aj(j=1,2,3)A行,

A32解

3

3

3|A|6设A、B均为n阶矩阵,|A|=2,|B|=－3,则|2A*B1 解.|2A*B1|2n|A*||B1|2n||A|A1||B1|2n|A|n|A1||B1|

2.23二.设|A||aij|n阶行列式,a12a23a34⋯an－1nan1(A) (B) (C) (D).,An阶方阵A*A的伴随矩阵,则||A|A*|(A) (B) (C) (D)解||A|A*||A|n|A*||A|n|A|n1|A|2n1(D)是答案An阶方阵,BA经过若干次矩阵初等变换后得到的矩阵,(A)|A|= (B)|A|(C)若|A|=0,则一定|B|= (D)若|A|>0,则一定|B|>解.经过对换行列式的行改变行列式的符号,所以排除(A(B),(D).C)是答案C

B0Am阶方阵Bn阶方阵B0

则 (A) (C)(－1)m+ (D)解An次与相邻列的列变换C的第一列An次与相邻列的列变换C的第二列Amn次与相邻列的列变换,Cm列.所 A(1)mn

(1)mn|A||B

3A2,B其中23均为三维行向量,且已知行列式|A| 2 2 |B|2,则行列式|A－B|(A) (B) (C) (D)113113113411232234设|A

1|A|2|B|2解.|AB A41A42A43A44=?,A4j(j=1,2,34)是|A|a4j的代数余子式

解

+

+

+A44

4

3(1)

=10

001Ln01Ln10L01Ln01Ln10L1LMOMOnnL011L解.|An n0LL每列加第n列OOLL(1)n12n2(nM0M00L0x1x1x1x1Lx1x2x2Lx2LLLLxnxnLxn解.n

(n22DnL

x1 x2 xn

x1 x2 + xn

x1 x2 xn

xnx1Lx12x1Lx1x2Lx2+2x2Lx2MMMMMMMMMMxnLxn2xnLxn +

x1 x23

x1 x2 +

x1 x23

x1nx2

xn3

xn

xn3

xn1x1x1Lx11x2Lx2MMMMM1xnLxn x1 x1 3 x1

x2n－

3 x2n= n

xn

3 xn1x x11x2 x2

x abc是互异的实数,证明 a

c0abc证明:考察范德蒙行列式1111abcyayyD (ab)(a1111abcyayy=(ab)(ac)(bc)(abc)y2

a

cy2前的系数. a

c=(ab)(ac)(bc)(abc)所以 a

c0abc证明:ATA,|A||AT||A|1)n|A||A|(n为奇数).所以|A|设fx)

32x2

53x5

3x27x8证明:(01),f0(提示:使用罗尔定理证明

f(0)

30

f(1)1

2 由罗尔定理,(01),f0试证:nfxC0C1xLCnxnn1x值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:n1x0x1,⋯xn.将它们代入多项式,Ci方程C0C1x0LCnxn0CCxLCxn 1 nnC0C1xnLCnxnnx0x1,⋯xn的范德蒙行列式,0.