第15章 结构动力计算

结构力学学习内容

结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程；单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位移计算）；阻尼对振动的影响；有限自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）；有限自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、振型的近似计算方法。2学习目的和要求

目的：工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。

要求：掌握动力自由度的判别方法。掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力、动位移的计算。掌握阻尼对振动的影响。了解自振频率的近似计算方法。31、结构动力学的计算特点2.动力计算和静力计算的区别和联系1.动力荷载和静力荷载的区别和联系荷载的大小、方向、作用位置随时间变化？动是绝对的，静是相对的。区别在于计算中是否考虑惯性力，由振动引起的内力和位移称动内力和动位移，它们不仅是位置而且是时间的函数。第一节结构动力计算概述3.动力计算中内力与荷载不能构成静力平衡利用达朗贝尔原理，引入惯性力，使结构在某一瞬时处于动平衡状态。可按静力学原理和方法计算结构在该时刻的内力和位移。4由于动荷载使结构产生了不容忽视的惯性力，其作用完全不能等同于将动载看作静载计算所得的量值；这反映了动载对结构更为不利的一面，对规模较大、较复杂的结构，尤其需要慎重考虑，合理地设计承受动力荷载的结构。第一节结构动力计算概述1、结构动力学的计算特点51动荷载的定义结构在大小方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力(innertiaforce)和荷载相比达到不可忽视的程度时的荷载称为动荷载（dynamicload）把荷载看成是静荷载还是动荷载应结合结构本身的动特性加以判决2、动荷载及其分类第一节结构动力计算概述62动荷载的分类动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载结构振动分析随机振动分析第一节结构动力计算概述2、动荷载及其分类7需要指出的是一种荷载是否作为动荷载并不是一成不变的，它与结构本身的动特性有关。如：风荷载动荷载周期高于结构周期5倍以上时，动力作用较小，可按静力计算。高耸柔性结构动载低矮刚性结构静载第一节结构动力计算概述2、动荷载及其分类81结构动力学和结构静力学的对比a．与静力学对比增加了复杂性，需要处理微分问题。b．动响应不仅与动荷载有关，而且与结构动特性有关。3、结构动力学的任务和内容2结构动力学的任务

确定结构动特性及结构固有特性与动荷载、动响应之间的关系；

为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依据。

确定结构在任意荷载作用下进行响应分析的方法。第一节结构动力计算概述93结构动力学的研究内容

第一类问题：由输入求输出的结构动力计算响应分析；输入（动力荷载）输出（动力反应）结构（系统）第一节结构动力计算概述3、动力学的任务和内容10

第二类问题：由输入、输出求结构特性的系统识别；参数识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）荷载识别输入（动力荷载）输出（动力反应）结构（系统）第一节结构动力计算概述3、动力学的任务和内容11

第三类问题：由输入、输出和系统求环境识别。结构振动控制。输入（动力荷载）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）结构（系统）第一节结构动力计算概述3、动力学的任务和内容121动力分析体系的自由度动力分析的特点是要考虑惯性力，而惯性力取决于质量分布和运动方向，因此在确定计算简图时，必须确定质量分布情况，确定质点位移形态。确定体系质点位移形态所需的独立参数的个数就称自由度。实际结构都是无限自由度体系，如按无限自由度体系分析这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要，故必须对结构进行必要的简化。4、动力分析体系的自由度

第一节结构动力计算概述132体系自由度的简化1)集中质量法（lumpedmass）

将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。l第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

14ll体系振动自由度为无限自由度忽略体系振动自由度为三个自由度忽略轴向运动忽略转动惯量体系振动自由度为单自由度第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

152)广义坐标法(generalcoordinate）选择一系列满足边界条件的基函数，通过线性组合来近似体系位移形态，其组合系数称广义座标---待定参数，即广义坐标---满足边界条件的基函数y(x)l位移函数的一般形式---待定参数个数，即自由度数第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

16y(x)l位移函数广义座标单自由度l位移函数广义座标二自由度第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

2)广义坐标法(generalcoordinate）173)有限元法（finiteelementmethod）ly1,

1,y2,

2,…

1(x)

2(x)将结构划分为有限个单元，通过单元分析得到单元刚度方程，组装成整体刚度矩阵，适当将质量分布于单元结点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

183体系自由度的确定

用有限元法或广义座标法将无限自由度体系简化为有限自由度体系时，体系的自由度数等于独立结点位移数或广义座标数。

对于集中质量法简化的有限自由度体系，在确定结构动力自由度数时应注意：(1)一般受弯结构轴向变形忽略不计；(2)体系的自由度数并不等总是于集中质点数，而要根据具体情况确定。第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

19不考虑轴向变形平面集中质量系统的自由度？自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系考虑轴向变形平面集中质量系统的自由度？不考虑轴向变形空间集中质量系统的自由度？自由度数的判断增加附加约束，限制全部质量位移；附加约束数＝自由度数第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

20确定体系动力自由度数与体系是否为静定无关体系自由度数与计算精度有关静定结构超静定结构第一节结构动力计算概述4、动力分析体系的自由度

21结构在动载作用下的响应规律，与结构的质量分布、刚度分布及能量耗散等因素有关。由结构自身物理量所确定、表征结构动力特性的一些固有量称结构的动力特性（structuraldynamiccharacter）。外形相同但动力特性不同的两个结构，在相同荷载作用下的响应也不同；而外形不同但动力特性相同的两个结构，在相同荷载作用下的响应却是相同的。5、结构的动力特性

第一节结构动力计算概述221结构的自振频率结构受到干扰会引起运动，但干扰取消后结构将在平衡位置附近继续振动，这种振动称结构的自由振动（freevibration）结构振动方式的数目用体系自由度数确定；结构振动的快慢用自振频率来描述；自振频率的顺序排列称频率谱；频率谱中最小的一个频率称基本频率第一节结构动力计算概述5、结构的动力特性

232结构的振型当结构按频率谱中某频率作自由振动时，其变形形状保持不变，这种变形形状称结构的主振型，简称振型（modeofvibration）第一节结构动力计算概述5、结构的动力特性

243结构的阻尼无外部激励的振动其振动幅度会逐渐减小，直至停止，这种现象称衰减（decay）。振幅随时间减小说明在振动中有能量损耗。

引起耗能的原因主要有：

1.材料内摩擦阻力

2.环境介质阻力

3.连接处摩擦力

4.地基土内摩擦力称这些耗能因素为阻尼（damping），它是动力分析的一个重要特性。第一节结构动力计算概述5、结构的动力特性

25阻尼机理目前研究的并不充分，结构往往存在几种性质不同的阻尼因素，为简化计算我们采用一种普遍、常用的模型粘滞阻尼模型（viscousdamping）粘滞阻尼假设：导致能量耗散是由于存在阻尼力，它和质点运动速度方向相反，大小与速度成比例，比例系数称阻尼系数，其数值由试验确定。根据这一假设，单自由度的阻尼力为第一节结构动力计算概述3结构的阻尼5、结构的动力特性

26描述体系质量运动随时间变化规律的函数表达式称体系的运动方程（equationofmotion）

直接平衡法根据达朗贝尔原理建立体系瞬时动平衡方程，即理论力学的动静法。

虚功原理法根据达朗贝尔原理，用于虚位移原理建立体系运动方程。

变分原理法根据哈密顿原理，以变分形式表示的能量关系建立体系运动方程。

第二节建立体系运动方程27重点介绍直接平衡法（1）根据问题的具体情况和精度要求确定体系质量分布和动力自由度数，即建立计算模型。（2）建立座标系，给出各自由度的位移参数。（3）分析各位移方向受力（4）建立运动方程：分体平衡方程（刚度法）变形协调方程（柔度法）第二节建立体系运动方程281、单自由度体系运动方程

许多动力问题常可按单自由度体系进行计算或进行初步估算

单自由度体系的分析是多自由度体系分析的基础

许多概念由单自由度分析引出为什么要研究单自由度体系？第二节建立体系运动方程29mk水平运动模型mk竖向运动模型mkm第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程30mkcmkcFP(t)ysy=ys+yd静平衡位

质点的位移、速度和加速度是以向下为正。

mkc位移

displacement

速度

velocity

加速度

acceleration

ysyd第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程a列动力平衡方程（刚度法）31取质点为研究对象建立动平衡方程

FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W振动与静位移无关，与重量无关（但与质量有关）,体系在静力平衡位置做振动.第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程a列动力平衡方程（刚度法）32以弹簧端点为研究对象。分析它与质块连接点的位移kFS’(t)y由作用力和反作用力的关系FP(t)FS(t)FI(t)FD(t)W第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程b列位移方程（柔度法）33以静平衡位置为起点列平衡方程和位移方程，所得的方程均与重力无关，方程解出的是动位移方程。（对于水平振动情况，重力并不在运动方向产生静位移，因此动位移即总位移

）与刚度法推出的运动方程相比较可见第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程b列位移方程（柔度法）34FP(t)mFP(t)m设质量

m的位移为

u,向右为正。用刚度法分析受力。问题是如何确定其中的刚度系数

k。用力法、位移法或力矩分配法均可求得

第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程35值得注意的是：用刚度法建立运动方程，一般情况下都要求解超静定结构的静力问题。两种方法得出同一个结果，但是用哪个方法更简洁一些;不同的题情况不一样，要自己总结用柔度法，将所有外力作用于质量

m，确定任意时刻质点的位移y。FP=1m第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程36同一体系，激励位置不同质量m的运动方程是否相同？

FP(t)mFP(t)m物理意义?第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程37FP(t)mmFP(t)同一体系，激励方向不同质量m的运动方程是否相同？

第二节建立体系运动方程1、单自由度体系运动方程38

任意单自由度结构的振动问题都可以抽象为质量－弹簧－阻尼器体系，关键是确定质量系数和弹簧刚度系数。结论

等效干扰力等于动载作用下附加约束上产生的支座反力，方向相反。

原则上刚度法和柔度法都可以建立运动方程，对具体问题，计算工作量是有差别的。故应视情况灵活应用。第二节建立体系运动方程（请附以例题）39

当体系为线弹性、阻尼为等效粘滞阻尼时，运动方程是二阶非奇次常系数线性微分方程：

任意单自由度结构的运动方程都可以表示成如下形式：该形式既适合等效粘滞阻尼和线弹性体系，也适合于其它阻尼和非线弹性体系。第二节建立体系运动方程40在实际工程中有些体系根据结构特征必须简化为多自由度(如多层结构、不等高排架等);为保证计算精度要考虑采用多自由度模型（如烟囱、高耸建筑物）。而多自由度中最具代表性的、最简单的当数两自由度模型。

建立振动方程的方法：柔度法：按位移协调原则建立运动方程

刚度法：按质体平衡条件建立运动方程

第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程41刚度法思路利用达朗贝尔原理引入惯性力，则质点在某一时刻处于动平衡状态，列质点平衡方程．ABFP(t)ABFP(t)FE1(t)FE2(t)k11y1k21y1ABFI1(t)k12y2k22y2ABFI2(t)第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程42其中以矩阵形式表示kij--刚度影响系数矩阵简写为：第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程43刚度法建立体系运动方程的具体步骤1、确定体系的自由度及各自由度方向的质量，建立质量矩阵M；2、用附加约束固定全部运动质量；3、在外载作用下，计算附加约束上的约束反力，从而组成干扰力矩阵FP；4、由刚度系数定义形成刚度矩阵K；5、组成运动方程。第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程44柔度法思路利用达朗贝尔原理引入惯性力，由质点在某一时刻形态状态列质点位移方程ABFP(t)

11FP=1

21

12FP=1

22

1PFP=1

2P第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程45以矩阵形式表示

ij

-柔度影响系数矩阵简写为：可以看到有：体系的刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵。这一结论对于任意多自由度体系都成立。第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程461、确定体系的自由度及各自由度方向的质量，建立质量矩阵M；2、计算在动外载作用下引起运动质量的位移，从而组成位移矩阵

P；3、由柔度系数定义形成柔度矩阵

；4、组成运动方程。第二节建立体系运动方程柔度法建立体系运动方程的具体步骤2、多自由度体系运动方程47运动方程的一般形式刚度形式表示

柔度形式表示第二节建立体系运动方程2、多自由度体系运动方程48

刚度形式方程和柔度形式方程可以互换。但对于具体问题工作量可能不同。通常对于静定结构，采用柔度法要简单一些，而对于超静定结构，采用刚度法较方便。注意

单自由度体系刚度系数和柔度系数互为倒数。多自由度体系刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵(其对应系数不存在互为倒数关系)。

干扰力向量当动荷载直接作用于质点时由动荷载按自由度顺序组成；否则，由前述约束反力变号组成。

运动方程中的柔度矩阵和刚度矩阵并不完全等同于超静定结构静力计算的柔度矩阵（力法）和刚度矩阵（位移法）。

1、阶数不同；2、系数意义不同；第二节建立体系运动方程49第二节建立体系运动方程3、建立体系运动方程示例例题：建立图示体系的运动方程。mEIlEIl150第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程。mEIl/2EIl/2151层间侧移刚度：对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对单位水平位移时，两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度。mEIlEIl1EIllEIEIEI第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程。52第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程。mEIl/2l/2W---P(t)引起的动位移---重力引起的位移质点的总位移为加速度为列运动方程时可不考虑重力影响53m1m2=第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程（刚度法）。54m1m2刚度矩阵第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程（刚度法）。55第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程（刚度法）。m1m256第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程（柔度法）。m1m257第二节建立体系运动方程例题：建立图示体系的运动方程（柔度法）。m1m258例题：不考虑杆件的轴向变形，不考虑阻尼，建立图示刚架的运动方程lFP(t)l/2l/2mmFP(t)mmFI1FI2第二节建立体系运动方程59FP(t)mm

1P

2Pmm

11

21FP=1mm

11

21FP=1柔度法第二节建立体系运动方程60FP(t)mmR2R1Z1FP(t)Z1=1FP(t)刚度法第二节建立体系运动方程61仍采用位移法求刚度系数第二节建立体系运动方程62

动力学是结构抗震设计的重要基础。

荷载作用是作为动荷载还是作为静荷载，取决于是否考虑由此产生的惯性力。

现代结构动力学内容十分丰富，要培养兴趣，扩展知识。

总结由实际结构变成计算模型的方法，注意结合计算机计算大型结构的动力学问题。

动力自由度是确定质体空间位置的独立坐标个数，它和结构超静定次数无关。与体系的可能变形状态及质体数目有关，因而，列运动方程时的刚度系数和柔度系数与解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。第二节建立体系运动方程4、几点结论63

频率、振型和阻尼是体系的重要动力特性。结构的动力响应，不仅和动荷载有关，而且还取决于结构的动力特性。

建立体系运动方程的方法很多，但最常用的是动静法。根据达朗贝尔原理刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件

集中质量多自由度体系的质量矩阵是对角线矩阵，刚度矩阵是对称的。

等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移向量计算”，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附加约束上的反力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是等效干扰力。第二节建立体系运动方程4、几点结论

64单自由度体系运动方程单自由度体系自由振动第三节单自由体系自由振动65

可以与考虑阻尼的情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。

这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；为什么要讨论这种简单模型？1、无阻尼的自由振动(

＝0)第三节单自由体系自由振动66

振动将以一个连续地定常幅度振动。

经过一固定时段又恢复原运动状态。A0

yAaωt+α第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(

＝0)67通过初始条件确定待定系数

由y0引起的由

引起的第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(

＝0)68通过初始条件确定待定系数

A0

——振幅（amplitudeofvibration）

——初始相位角。总动力位移

A1A2A0第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(

＝0)69称工程频率（单位时间内振动次数）

称周期（振动一次所需的时间）

称圆频率（2

秒内振动次数，或单位时间内转的周数）

第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(

＝0)70自振频率和周期的特性：

①只与质量和刚度有关，与荷载无关；是结构动力反应的重要标志，系本身固有的属性。

②刚度越大，频率越高，周期越短；质量越大，频率越低，周期越长。第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(

＝0)71例题:

列振动方程，求自振周期和频率。

mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：6i/lkΔ=172例题:

列振动方程，求自振周期和频率。

解：EIEI1=∞lmmEIkk12i/l2Δ=173例题:

求自振周期和频率。解：mEI1=∞EAllEIF=1lN=174例题:

列振动方程，求自振周期和频率。

l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIααNA75αNA7677——产生单位转角位移需要的力偶——转动惯量78A具有共同的自由度时，各质点的质量或转动惯量才能相加。79ll/2l/2EI=∞例题:

求自振周期和频率。解80齐次线性微分方程的特征方程微分方程的解按特征根的性质不同，具有三种不同形式：第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)811小阻尼的情况两个特征根为复数称为“有阻尼振动的圆频率”第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)82tyo第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)832大阻尼的情况特征根为两个负实数由于不含简谐振动因子，说明体系受到初始干扰后，能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起振动。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)843临界阻尼的情况特征根为一对重根这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。tyy0θ0结论：由振动过渡到非振动的临界状态。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)85临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)86大阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较小阻尼临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)87有阻尼自由振动的重要性质：

固有频率与结构的质量和刚度有关，要改变频率只能从质量和刚度着手；

频率是结构动特性的重要数量标志。两个外表相似，但频率大异的结构，其动特性亦相差很大；两个外表大异，但频率相近的结构，其动特性亦相差无几。

要完全确定体系的振动位移，还需确定积分常数，它不是体系的固有特性，取决于初始条件

有阻尼自振频率小于无阻尼自振频率。但通常两者相差甚小，可忽略其影响。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(

0)88发现

1/衰减性振动；

2/非周期性振动；

3/质点两次通过平衡位置的时间间隔相等准周期tyo3、确定体系阻尼比的方法第三节单自由体系自由振动89①阻尼对自振频率的影响.在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:随阻尼比增加而降低第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法90②阻尼对振幅的影响.结果：振幅按等比级数递减.振幅随时间衰减，考察相邻两个振幅的比确定阻尼比的方法：称振幅的对数衰减率（常数）

令则第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法91当体系由某一时刻tk，经过n个准周期后，通过实测y(tk)

和y(tk+nTd)可计算阻尼比

，从而确定阻尼系数c

。第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法92例题：单层建筑结构计算简图做振动试验。在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧向位移A0=0.5厘米，然后突然释放，结构开始自由振动。测得周期Td=0.5秒，5周后测得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系数c,并确定几周后振幅小于0.05厘米。

FP93(1)由于阻尼对周期影响很小，所以

(2)设经过na周，振幅将降到0.05厘米以下，由

94第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解基本思路将动荷载的作用看成是一系列在质点上暂短停留的不变的力（脉冲）的集合，由叠加可得到任意荷载作用的响应。95由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。

瞬时激振作用效果就在于使质点产生一个初速度，而初位移为零。质点作以此初始条件引起的自由振动。dS=FP(

)d

d

FP(t)t

t第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解96整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时刻

t的位移的影响：FP(t)t脉冲响应函数t第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解97方程全解齐次解与特解之和考虑为无阻尼时第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解981.简谐荷载作用下的动力响应前两项是以

d为频率的衰减自由振动，很快就消失掉了；

最后项是以

为频率的常幅振动，称稳态振动，与初始条件无关。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应99其中由初始条件确定第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应100——荷载幅值产生的静位移——位移动力放大系数用待定系数法可以求得特解待定常数第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应101讨论

振幅

标志着动力响应是静力效应的多少倍

振幅A与静位移yst有关，而静位移yst又与激振力幅FP0有关;振幅A与动力放大系数

有关，而

与频率比

和阻尼比

有关。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应102初步观察：

1/对于某

值，

增加，则

下降；

2/

=1时，振幅将很大。

3/远离共振区曲线密集，

的影响不显著

共振区后区前区减振方案:刚性方案柔性方案第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应103

相位

表明位移和激振力间相位关系

当

0时，

永不为零

若

<1，则0<

</2若

>1，则

/2

<

<

（+）（－）

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应104

相位

表明位移和激振力间相位关系

当

=0时若

<1，则

=0表示位移与激振力同步；

若

>1，则

=

表示位移与激振力反向运动；

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应（+）（－）

105

当

=1时，

=/2（无论阻尼是否等于零）

所以，只要有阻尼存在，位移总是滞后于激振力：

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应106

体系内各种力分析：第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应107恢复力：激振力：惯性力：

阻尼力：

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应1081）

<<1时，

1，

0相当于自振频率相对很大，意味着结构较为刚性(或激振频率相对很小，或激振力随时间变化异常缓慢)，此时2

→0，表明阻尼影响甚小。由于振动缓慢，故惯性力和阻尼力都很小，激振力主要由弹性力平衡。而弹性力与位移成正比，但方向相反，所以激振力与位移基本同步，激振力作静载处理。

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应1092）

>>1时，

0，

相当于自振频率远小于激振频率，意味着结构较柔(或激振力随时间变化异常迅速)，此时(1-

2)2>>(2

)2，表明阻尼影响甚小。由于振动很快，故惯性力很大，弹性力和阻尼力相对很小，激振力主要由惯性力平衡，而惯性力与位移成正比，但方向相反，所以激振力与位移相角相差180o，相当结构处于静止。

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应1103）

1时，

1/(2

)，

/2自振频率接近于激振频率，振幅值已相当可观，这种状态称共振(resonance)，其附近称共振区，（通常是0.75<

<1.25）。此时不大的激振力就可以引起很大的位移和内力。位移与激振力相位角相差90o，因此当激振力为最大时，位移和加速度接近与零，因而惯性力和弹性力接近于零，此时激振力主要由阻尼力平衡，因此，在共振区内阻尼力起主要作用。

的数值对

的大小有着决定性影响。因此，在共振区内要力求

的精确，而在共振区外，阻尼影响较小，可忽略不计，这样也是偏于安全的。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应111

动位移和动内力

动位移：

动内力：当有了稳态动位移，即可求得体系的速度和加速度，进而计算体系的阻尼力和惯性力，体系在几种力共同作用下可以采用静力学方法绘制其内力图，进而求得反力。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应112a)一般方法*确定动位移达到幅值时的时间*确定惯性力幅值和动荷载幅*将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应113激振力与惯性力共线时的比例算法

激振力FP(t)=FP0sint

，动位移幅值为A0。

即产生位移A0

的力

（惯性力在放大系数中体现）将

FP0加在质量集中处，然后用静力学方法即可计算动内力值。各截面动内力和动位移都与质点位移成正比，所以，质点动位移的放大系数就是各截面动内力和动位移的放大系数b)比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应114计算步骤：FP(t)mlFP＝1m

FP0lFP0m首先在质点处加一单位力作出内力图，将内力图放大（

FP0）倍,即得激振力作用下动内力幅值的分布图。

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应115可根据质点处位移相等的原则，把激振力换算成作用于质点处的等效激振力。将惯性力的弯矩图与幅值力弯矩图叠加，就得到最大动弯矩图。激振力与惯性力不共线时的叠加算法

FP(t)mmmA0

2sintFP0sint+=第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应116注意：此时动内力放大系数和动位移放大系数并不相同，而各截面对应的动弯矩和静弯矩的比值也不同。各区段没有一个统一的放大系数。FP(t)m第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应117t①有阻尼时

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应2.突加荷载作用下的动力响应118t①有阻尼时

表明体系除产生静位移yst外，还发生衰减振动，最终停止振动。

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应2.突加荷载作用下的动力响应119②无阻尼时

振动将进行下去，最大动位移

无阻尼稳态振动有阻尼稳态振动第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应120方法1：分阶段进行计算

时，解同2

时，3.阶跃荷载（短时荷载）作用下的动力响应tt1第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应121方法1：分阶段进行计算

3.阶跃荷载（短时荷载）作用下的动力响应tt1第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应122方法2:即当

t>t1时,体系呈自由振动，初始条件

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应123方法3：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成P(t)tPP(t)tPt1P(t)tPt1当0<t<t1当t>t1第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应124

t1<T/2时矩形荷载反应

t1>T/2时矩形荷载反应第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应1252

当t1<T/2，在t=t1时刻，位移和速度都为正，所以最大位移发生在t>t1阶段，由可见，短时激振的动力效果取决于其作用时间t1/T

1当t1>T/2，在0

t1时间内有cost=-1时刻，故最大位移发生在0

t

t1

阶段，ymax=2yst

第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应

t1126ttd第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应4.爆炸冲击荷载作用下的动力响应127FP(t)tF0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应5.线性渐增荷载作用下的动力响应128对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0μt1P0动力系数反应谱动力系数μ介于1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则μ接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则μ接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应129小结

任意解析荷载都可以通过Duhamel积分获得解答。当荷载是以数值形式给出，需要利用计算机通过数值积分获得响应的时程。

各种短周期荷载，可以不考虑阻尼的影响，关键是要分时段考虑。在荷载作用时段用Duhamel积分求解，在荷载作用结束后，以结束时的位移和速度作为初始条件,求自由振动解。

动力放大系数通常与荷载作用时间和体系固有周期的比值有关。End130第五节无阻尼多自由度体系的自由振动工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础多自由度体系受迫振动的解是齐次解与特解之和，所以自由振动分析（齐次解）是基础.自由振动分析的核心是确定体系的动力特性。131多自由度体系无阻尼运动方程刚度法形式：柔度法形式：多自由度体系无阻尼自由振动方程刚度法形式：柔度法形式：第五节无阻尼多自由度体系的自由振动132设特解：按这一形式的振动有以下特点振动过程中两质点间同频率、同相位角；质点位移在数值上随时间变化，但彼此间比值保持不变。这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解133代入刚度法方程（1）

1

=

2

=0

不振动的解（2）

1，

2

至少有一个不为零

振动的解振型方程第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解134非零解的条件：振型方程的系数行列式为零频率方程存在两个特征解

1，

2;其中最小的一个称第一（基本）圆频率，较大的一个称第二圆频率。第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解135第二阶主振型第一阶主振型振型方程的解只可得出振幅的相对比值第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解136代入柔度法方程设：振型方程第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解137非零解的条件：振型方程的系数行列式为零频率方程存在两个特征解

1，

2;其中最大的一个对应第一圆频率

1，较小的一个对应第二圆频率

2

。第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解138第二阶主振型第一阶主振型第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解139通解对应

1的特解对应

2的特解由初始条件确定四个常数第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解140重要特性：频率个数等于体系自由度数；主振型也是体系的固有特性；多自由度体系振动可看成不同主振动之线性组合，或说体系振动可按主振动分解；只有在质量的初位移和初速度与某主振型一致时，体系才会按该主振型做简谐振动。第五节无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解141例题：两层刚架，横梁为刚性，立柱的抗弯刚度EI1、EI2,立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1，m2,每层高度h1，h2，求自振频率和振型。m2m1h2h1第五节无阻尼多自由度体系的自由振动2、两自由度体系的频率和振型计算举例刚度法142k21k111解：当k22k121143代入频率方程：144第一主振型：第二主振型：

21=1.618

11=1

22=－0.618

11=1145如n=90时特征方程：当146可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。如：屋顶消防水池上人屋面设计的楼电梯间女儿墙屋顶建筑物等。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如n=90，则147柔度法y1(t)设解为y2(t)148令149主振型主频率150例题：简支梁在三分点处有两各相等的集中质量m，不计梁本身重量，梁的抗弯刚度为EI，求自振频率和振型。mmEIl/3l/3l/32l/92l/9151152多自由度体系分析方法与两自由度体系分析方法一样1自振频率2主振型第五节无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型153自振频率与主振型一一对应振型只表明振动的形状，不能唯一确定其幅值振型是多自由度特有的概念注意方法2：规定振型

i满足3振型的标准化补充条件，使主振型用确定的幅值表示方法1：规定振型中某元素为1，其它元素就是相对于它的比值。通常选第一个元素或最大一个元素，令其等于1。第五节无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型154某自由振动的解它的线性组合也是自由振动的解任意初始条件下的位移解答均可用全部振型的线性组合表示第五节无阻尼多自由度体系的自由振动4、多自由度体系自由振动的通解155矢量代数的两个矢量点积等于0，即称两个矢量垂直矩阵代数的两个n维向量存在如下关系，即称两个向量正交第六节多自由度体系振型的正交性1、正交的概念156n

自由度体系的n

个振型向量中，对应于不同自振频率的振型之间存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性。第六节多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性157正交性证明第六节多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性158

振型关于质量、刚度矩阵正交的进一步推广振型方程所以有因为称为振型关于矩阵[K][M]-1[K]正交第六节多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性159同理第六节多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性160按此思路继续，可证明类似地:式中n是正整数。第六节多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性161第i阶振型的惯性力第i阶振型的惯性力在第j阶振型的位移上所作的虚功为零，也即某振型产生的惯性力在其它振型上不作功。第六节多自由度体系振型的正交性3、振型正交性的物理解释162

可利用振型的正交性验证所求振型的正确性。

利用振型求振型对应的自振频率。第六节多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用163

位移的分解任意给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成n

个振型的线性组合。第六节多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用164

将多自由度体系变换成多个单自由度求解第六节多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用165

自由振动初值确定第六节多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用166例题：检验框架结构振型的正确性m2m1h2h1第六节多自由度体系振型的正交性5、多自由度体系振型正交性应用举例167例题：已知三层框架结构前两个振型求频率。m1=180

103kgm2=1.5m1m3=1.5m1k1=98

103kN/mk2=2k1k3=2.5k11681、首先求第三振型m1=180

103kgm2=1.5m1m3=1.5m1k1=98

103kN/mk2=2k1k3=2.5k11692、求广义质量3、求广义刚度1704、求各阶圆频率1715、若有一位移向量，如何用前述振型进行分解172第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动173

共振分析如果就会出现共振。在n个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在n个共振点。共振使体系产生较大变形，使用寿命受到影响；但也可以通过共振测量体系的固有频率，又可以利用共振曲线，用功率谱法可以测定体系的阻尼比。第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动174

特例分析在简谐激振力作用下的稳态振动，两质点都做简谐振动。代入方程，消去共同因子并整理第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动175第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动1761、

0时，方程趋于静力方程，相当于静载。2、

时，质点位移趋于零，相当于静止。3、

1或

2时，位移变得很大，系统将产生共振。对应两个频率有两个共振点。第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动1775、当将激振力幅值和惯性力幅值同时加在结构上时，位移和内力幅值的计算可按静力法进行。4、质点的惯性力

说明在不计阻尼时，位移和惯性力同步.

第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动178考虑仅在1点作用激振力如果

吸振原理则有F01sin(

t)k2m2ABk1m1第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动179吸振原理表明：

为减少单自由度主体结构的振动，可适当地附加质量－弹簧子系统，只要合理设计就可以消除主体结构的振动。该原理已被应用于工程的调频质量阻尼系统和调频液体阻尼系统等结构控制技术中。第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动1801正则坐标（广义坐标）此前讨论的是在几何坐标系下，讨论质点位移。问题是方程出现耦联，需联立求解方程，自由度较多时求解工作很繁重。通过变换，可将几何坐标换成同样数目的其它坐标。希望在新坐标系下联立方程组将变成每个方程只含一个未知量的解耦方程组。线性变换保证单值关系（线性无关）第七节多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动181取几何意义表明体系中每个质点的位移由两个固有振型线性叠加而成，故称振型叠加法；又可理解为任意位移可按振型分解，故又称振型分解法。v1,v2称正则坐标。则第七节多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动182

正则方程的推导每个方程只含一个正则坐标，相当于单自由度体系运动方程。

第七节多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动183

正则方程的解

的确定

第七节多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动1841形成[M]，[K](或[

])；利用频率方程计算频率。2由3依次计算4建立并求解5求几何坐标下的动位移6求出几何坐标下的动位移后，可求其它动反应。2振型叠加法计算动力反应的步骤

第七节多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动185例题：已知解(1)确定自振频率和主振型

mmEIl/3l/3l/3FP(t)186(2)建立座标变换关系

187(3)求广义质量

(4)求广义荷载

188(5)求广义座标189(6)求质点位移

注：在一般激振荷载作用下，任一时刻的位移主要由前几阶振型分量组成，高阶振型影响较小，在保持精度条件下，可忽略高阶振型的影响。190任意时刻的位移幅值是否为两个振型幅值的叠加？mmEIl/3l/3l/3F(t)191(8)讨论

第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响小得多；

第一主振型分量和第二主振型分量并不同时达到最大值，因此在求位移或弯矩的最大值时，不能简单地把两个分量的最大值相加；

主振型叠加法可以将多自由度体系的动力反应问题变为一系列按主振型分量振动的单自由度体系的动力反应问题。高阶振型的影响相对很小，故只计算前2-3振型影响即可得到满意的结果。192无阻尼结构在动荷载作用下产生振动时，结构中的内力将由动荷载和惯性力共同作用产生。第七节多自由度体系受迫振动3、无阻尼结构动内力计算193当结构受简谐荷载作用产生无阻尼振动时，由振动产生的惯性力随时间的变化与外荷载同步。因此，在计算结构最大内力时可将由荷载幅值产生的内力与惯性力幅值产生的内力直接相加。惯性力幅值可通过上式直接计算而不必先求位移再作计算。但是，对于任意荷载作用引起的振动，必须先计算位移向量，再计算惯性力。第七节多自由度体系受迫振动3、无阻尼结构动内力计算194例题：求动弯矩

质点受力分析

mmF(t)195mmF2P(t)F1P(t)196F0sintllm2m1EIEIEIEIEI例题：求动弯矩

197F0sint2578040140198设通常阻尼矩阵对振型不正交，也即则式(a)将是联立的微分方程组，求解将是很困难的。(a)第七节多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动199引入阻尼假设第j阶振型的广义阻尼系数第j

阶振型的广义阻尼比第七节多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动200第七节多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动201运动方程中引入了阻尼矩阵[C]，其元素cij的物理意义为：第j个位移方向有单位速度(其他质量位移方向的速度为零)所引起的第i个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数(damplnginfluencecoefficient)。然而，在处理实际问题时，要直接确定阻尼影响系数是十分困难的。

在振型叠加法对运动方程进行处理时，为了使方程解耦，假设体系的阻尼矩阵对振型满足正交性条件,并引入了广义阻尼系数。虽然如此，但如何确定阻尼影响系数仍是一个尚未解决的问题。第七节多自由度体系受迫振动5、有关阻尼矩阵的补充说明202下面介绍[C]的一种构成方法:引入Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，

与

可用振型正交性由阻尼比

i，

j和频率

i，

j确定。第七节多自由度体系受迫振动5、有关阻尼矩阵的补充说明203第八节频率和振型的实用计算法根据能量守恒原理，线性体系作无阻尼振动时，由于没有能量的输入和耗散，因此在任意时刻体系的总能量保持不变。变形能＋动能＝常数2041、单自由度体系体系的位移体系的速度第八节频率和振型的实用计算法205当体系振动位移达到最大时速度为零，此时势能最大，动能为零；而当体系振动速度达到最大时位移为零（静平衡位置），此时动能最大，势能为零。这一方法称为瑞利法(Rayleighmethod)。1、单自由度体系第八节频率和振型的实用计算法206按某一频率

i无阻尼自由振动的位移解为:则：因此：根据能量守恒，有2、多自由度体系第八节频率和振型的实用计算法207进一步可表示成：这一结果只有理论意义，因为体系的振型在频率未求得以前同样是未知的通过假设一个满足位移边界条件的近似位移，可以求得一个近似计算结果。低阶的振型容易假设。设近似位移：则：第八节频率和振型的实用计算法2、多自由度体系208第八节频率和振型的实用计算法2、多自由度体系所设近似位移要满足体系的约束条件，计算精度取决于近似位移与真实振型的接近程度，当它们完全相等时，计算结果就是精确解。如果假设的位移函数是某种外力引起的位移，则变形能也可用外力功来计算。209体系的第一阶振型的形状通常可以根据经验给出较为准确的假设。

图示两层刚架，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度EI=6.0106N·m2

，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。用能量法确定刚架的基本频率。ll第八节频率和振型的实用计算法2、多自由度体系210解法一由刚度系数和层间刚度的定义211由刚度系数和层间刚度的定义212由层间位移的定义213由最大变形能等于外力功精确解=10.050rad/s-1误差2.6%214解法二将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，取由此产生的静位移作为近似的第一振型。215由最大变形能等于外力功精确解=10.050rad/s-1误差0.07%两种方法的计算结果表明：将运动质量对应的重量沿振动方向作用，取由此产生的静位移作为近似的第一阶振型，能量法所得到的结构基本频率具有相当高的精度。216例题：瑞利法计算三层剪切刚架的第一阶频率解:

设以各层重量作为水平荷载作用在各楼层，质点水平位移作为第一振型中该点坐标的近似值。

用外力功代替弹性能217(1.35%)

假设振型如果边界条件满足的好，计算精度就高

近似解均高于精确解。这是因为假设质量位移与实际振型有出入，相当于在体系上施加了某些约束，从而增大了体系的刚度，故所得频率值增大。

用能量法通过假设体系的第一振型，可以求得体系的第一频率。以体系运动质量的自重沿运动方向作用下的静位移作体系近似的第一振型，可得较好的结果。218对于连续质量分布的无限自由度体系，设体系以

作自由振动，其振幅曲线Y(x)第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*219第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*220若体系上还有几个集中质量，则瑞利(Rayleigh)

法自由振动频率计算公式第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*221当取结构的自重沿振动方向作用所产生的静位移作为第一阶振型的近似时，公式的分子中代表变形能的项可用重力沿位移方向所作的外力功来代替。第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*222

这里如果振型已知，代入瑞利公式可得对应频率的精确解；如果振型未知，可假设一近似振型，代入瑞利公式求频率的近似解。由于低阶振型较容易假定，故用瑞利公式求低阶频率精度较高。

应尽量满足体系的边界条件几何边界条件力的边界条件注意第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*223

的选取方法用某荷载的静挠度曲线作为用均布荷载和集中荷载作用下的静挠度曲线作为第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*224解:

1设曲线满足几何边界条件和梁端弯矩条件，但不满足梁端剪力条件。例题：求图示梁的基本频率(1.9%)第八节频率和振型的实用计算法3、无限自由度体系*2252取均布荷载作用下的挠度曲线满足全部边界条件。(0.4%)2261、无限自由度体系对任意一个满足位移边界条件的位移函数Y(x),定义瑞利比瑞利比的值完全由所选的位移函数Y(x),确定。第八节频率和振型的实用计算法4、瑞利比227选择n个彼此独立且又都满足体系位移边界条件的已知位移函数（又称基函数）的线性组合表示某位移。则瑞雷比的值又可表示成:第八节频率和振型的实用计算法4、瑞利比2282、多自由度体系对任意一个位移幅值向量{Y},定义瑞利比选择n个彼此独立且又都满足体系位移边界条件的基向量的线性组合表示某位移幅值。第八节频率和振