自适应滤波器的特点课件

第三章自适应滤波器1第三章自适应滤波器1

前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波，Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实现最优滤波。2前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波，Wiene自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤波器一样好。因此在信号和噪声的先验知识不完全知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优越性能。3自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在设计时只需要很少的、基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自动频率微调。4基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应滤波器以

本章安排:⑴原理⑵的求解⑶自适应对消⑷自适应滤波⑸其他应用5本章安排:5应用举例自适应滤波器的组成自适应横向滤波器自适应时域滤波自适应格型滤波器自适应空域滤波(自适应阵列)最小二乘自适应滤波可编程滤波器（滤波部分）自适应算法（控制部分）

6应用举例自适应滤波器自适应横向滤波器自适应时域滤波1.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整；2.采用MMSE误差准则，最终解是Wiener解；3.不需要任何关于信号和噪声的先验知识；4.适用于非平稳随机过程。自适应滤波器的特点71.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整；自适应滤波器的1.更新，权系数的更新公式2.收敛及收敛速率自我调节:校正项；

误差大,调节量大；误差小,调节量小；误差足够小,停止调节；3.最佳滤波，收敛后的权向量应等于最佳权向量。

三大要求81.更新，权系数的更新公式三大要求8通信信道的自适应均衡；雷达与声纳的波束形成；减少或消除心电图中的周期干扰；噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测。应用9通信信道的自适应均衡；应用9§3.2自适应横向滤波器10§3.2自适应横向滤波器10基本原理11基本原理11FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小；IIR网络：(全局最小点)不止一个，一般选用方程误差最小；本课程不涉及。12FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小；12一、自适应线性组合器和自适应FIR滤波器13一、自适应线性组合器和自适应FIR滤波器13输入为N个不同的信号源14输入为N个不同的信号源14同一信号源延时后的输出15同一信号源延时后的输出151.矩阵表示式161.矩阵表示式16令17令172.最小均方误差和

最佳权系数182.最小均方误差和

最佳权系数18性能函数表面19性能函数表面19令20令20输入信号自相关矩阵的

特征值及其性质21输入信号自相关矩阵的

特征值及其性质211.R的所有特征值是实的并且大于等于零；2.对于不同特征值的特征向量相互正交；3.特征向量矩阵Q可以归一化（正交化），并满足221.R的所有特征值是实的并且大于等于零；22

性能函数是权系数的二次函数，存在极小值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后停在那儿。23性能函数是权系数的二次函数，存在极小值，如如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏的，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不仅要向下移动至最小点，而且当性能表面移动时，还要跟踪它的最小点。24如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统计特性，可将性能表面视为输入自相关矩阵的特征向量确定了误差表面的主轴。输入自相关矩阵的特征值给出了误差对它的主轴的二次函数。25输入自相关矩阵的特征向量确定了误差表面的主轴。25令基于梯度法使性能函数到达它的最小点。26令基于梯度法使性能函数到达它的最小点。26误差信号与轨入信号正交，Wiener解。27误差信号与轨入信号正交，Wiener解。27

自适应横向滤波器的简化符号:28自适应横向滤波器的简ex:一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入信号和期望信号分别为:求Wiener滤波器的最佳权向量

29ex:一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入信号解：30解：3031313232则33则333434例35例35其中

，

36其中，36

373738383939代入

40代入40二．性能函数的表示式及其几何意义41二．性能函数的表示式及其几何意义414242令是实对称矩阵

①

②43令是实对称矩阵①②43其中是单位正交矩阵

是由的特征值所构成的对角阵44其中是单位正交矩阵是由的将②式代入①式

其中

③

45将②式代入①式其中③45三、最陡下降法46三、最陡下降法464747自适应过程是连续地调节，去寻求碗的底部：调整步长的常数,它控制系统的稳定性和自适应的收敛速度48自适应过程是连续地调节，去寻求碗的底部递推公式

①49递推公式①49①式两边同时减去

令

则②50①式两边同时减去令将正交分解

②式两边同时乘以得

③

51将正交分解②式两边同时乘以设初始状态为，将③式反复迭代

52设初始状态为，将③式反复迭代522、收敛条件当迭代次数时，只有

才能满足收敛532、收敛条件当迭代次数时，只有54543、过渡过程553、过渡过程55权向量的过渡过程

第i个方程

令

56权向量的过渡过程第i个方程令56当取值很小时

57当取值很小时5758585959性能函数的过渡过程60性能函数的过渡过程60四、LMS算法61四、LMS算法611、权值计算①②

③

621、权值计算①②③62用FIR滤波器实现，第j个权系数的计算公式∴梯度估计值是无偏的，梯度的估计量在理想梯度附近随机变化，权系数也在理想情况下的权轨迹附近随机变化。63用FIR滤波器实现，第j个权系数的计算公式∴梯度估计值是无偏2、LMS算法加权向量的过渡过程点积满足交换律①若认为与不相关,与不相关关联性很小需要经过若干步642、LMS算法加权向量的过渡过程点积满足交换律①若认为

6565同理

66同理6667676868横向滤波器，

69横向滤波器，69通常取

第i个分量

70通常取第i个分量703、LMS算法性能函数的过渡过程式子加上并减去713、LMS算法性能函数的过渡过程式子加上并减去71设与不相关，变化很小，

72设与不相关，变化很小，72同理，

73同理，734、稳态误差和失调系数

744、稳态误差和失调系数74失调系数

:滤波器的阶数：输入信号功率

：控制步长因子提高收敛速度，失调系数要增加，因此要求适中75失调系数:滤波器的阶数：输入信号功率：控制步长因子书中图：N=5输入为：信号+白噪声一条样本学习曲线

150条个别曲线平均76书中图：N=5输入为：信号+白噪声76五.牛顿法梯度搜索77五.牛顿法梯度搜索7778781.对于单变量性能表面

791.对于单变量性能表面792.对于多权的多变量情况上式两边左乘

引入调整因子

802.对于多权的多变量情况上式两边左乘 引入调整因子3．学习曲线813．学习曲线81时间常数因此其学习曲线为单一时间常数的指数函数曲线

82时间常数因此其学习曲线为单一时间常数的指数函数曲线82牛顿法比最陡下降法收敛的更迅速。因为牛顿法使用了R矩阵信息。从而在误差表面上找到直接到达的路径。因而牛顿法收敛的更快4．与最陡下降法的比较83牛顿法比最陡下降法收敛的更迅速。因为牛顿法使用了R矩阵信息。

六、LMS自适应

滤波——时域84六、LMS自适应

滤波——时域84Widrow——HoffLMS算法

85Widrow——HoffLMS算法85

将原型滤波器（长度为N）分解成长度为的两个子滤波器。自适应算法分别应用于两个子滤波器，在保证算法收敛的基础上，该算法的步长因子的范围要比普通的LMS算法大，而BLMS算法的步长因子的范围比普通的LMS算法小。

2.并行LMS算法.BLMS算法.86将原型滤波器（长度为N）分解成长度为减小步长因子可以减小自适应滤波的稳态失调噪声。提高算法的收敛精度。然而步长因子的减小将降低算法的收敛速度和跟踪速度。因此固定步长的自适应算法在收敛速度，时变系统跟踪速度与收敛精度方面对算法调整步长因子的要求是相互矛盾的。为了克服这个矛盾，人们提出了许多变步长自适应滤波算法。3.变步长LMS算法87减小步长因子可以减小自适应滤波的稳态失调噪声。提高算法的收敛1>.步长因子随迭代次数N的增加而逐渐减小。2>.步长因子正比于误差信号的大小。3>.在初始时间段或未知系统参数发生变化时，步长应比较大，以便有较快的收敛速度和对时变系统的跟踪速度；而在算法收敛后，不管主输入端干扰信号有多大，都应保持很小的调整步长。以达到很小的稳态失调噪声。881>.步长因子随迭代次数N的增加而逐渐减小。88变换域的自适应

LMS滤波器89变换域的自适应

LMS滤波器89思想：将输入向量

这里具有较小的动态谱范围。

用复域LMS算法递推的修正变换域全向量。

90思想：将输入向量这里具有较小的动态谱范围。为自适应步长。为对角阵。其第个元素等于的功率估计。为控制自适应步长。功能上等价于将角变换分量的功率在加权前规范化（归一化）为１。这于对输入信号预自化，减小特征值分散度具有相同的作用。从而使得权向量更快的收敛。91为自适应步长。为当输入的自相关矩阵正定时，矩阵的逆存在。的收敛速度取决于特征值的分散度。优点：通过对输入信号进行某种形式的正交变换，可以减小输入自相关矩阵特征值的分散度，从而得到比时域算法更好的收敛性能。DFT，DCT域滤波是广泛应用的变换域自适应滤波方式。92当输入的自相关矩阵正定时，矩阵的逆小波变换域中的

自适应滤波93小波变换域中的

自适应滤波93

对于输入信号的时变特征，正弦的加权和(DFT或DCT)形式往往不能很好的重现。这一问题可以通过离散小波变换(DWT)得到解决。在DWT中，信号通过一个小波的膨胀和平移的加权和重构，