数学苏教版必修3知识导引2.2.2频率分布直方图与折线图

频率分布直方图与折线图案例探究在上一节的案例探究中，作出样本的频率分布直方图，再根据直方图解决用水量标准问题.分析：作出它的频率分布直方图，就能够方便的找出一个合适的标准，从而解决用水量标准问题！解：画频率分布直方图.建立平面直角坐标系，以横轴表示月均用水量，纵坐标表示频率/组距,就得到了这组数据的频率分布直方图，如下图所示:探究：1．一般地，作频率分布直方图的方法为：把横轴分为若干段，每一段对应一个组的组距.然后以这些线段为边作矩形，矩形的高等于该组的频率/组距，这样得出的一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.2．容易知道，频率分布直方图是以面积的形式反映了数据在各个小组的频率的大小，并且可看出在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1．3．频率分布直方图比频率分布表更直观形象地反映了样本的分布规律.一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确.4．如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为样本的频率分布折线图.5．频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势.如果将样本取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.结论：从上面所作的频率分布直方图中，我们可以看到，月均用水量在区间［2，）内的居民最多，在［，2）内的次之，大部分居民的月均用水量都在［1，3）之间.且可以计算出大约有88%的居民月均用水量在3吨以下，因此，居民月均用水量标准定为3吨是市政府可以考虑的一个标准.自学导引1．什么叫做频率分布直方图？作频率分布直方图的一般方法是什么？答案：我们可以利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图.一般地，作频率分布直方图的方法为：以数据的单位为横轴单位，以频率/组距为纵轴单位.把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.2．什么叫做频率分布折线图？答案：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为样本的频率折线图.3．什么叫做总体分布的密度曲线？它反映了什么？答案：定义：样本容量取得足够大，分组的组距足够小，相应的频率折线图将趋于一条曲线，这条曲线就叫做总体分布的密度曲线；总体密度曲线反映了总体的变化趋势和总体在各个范围内取值的百分比.4．在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1．（因为各小长方形的面积=所对应区间的频率，总面积=1）5．作有关产品尺寸的样本的频率分布直方图时，用横坐标表示样本数据，用纵坐标表示频率/组距，在横坐标上以数据分组的两端点表示的线段为底，在纵坐标上以频率/组距为高作矩形.6．条形图用高度来表示各组的频率，直方图用面积来表示各组频率.7．从某校2100名学生中随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间（单位：分钟）依次为：75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.该学校的学生中作业时间是一个半小时以上（含一个半小时）的学生有630人，所占频率为．（因为该样本中作业时间超过一个半小时的有9人，则频率；所以学生数=总体人数×0.3=2100×0.3=630）疑难剖析【例1】为了了解某地区高三学生的身体发育情况，当地教育机构抽查了本地区内100名年龄为～18岁的男生的体重情况,结果如下（单位:kg）：6564767256677068717562667368557274636070586457656973625876716663．5566570646876605774596768585972646265667063试根据上述数据画出样本的频率分布直方图与折线图，并对相应的总体分布作出估计.思路分析：此题容量较大，首先要对所给数据进行分析，找到最大值与最小值以确定全距，再分组作出频率分布表、频率分布直方图和折线图.（1）在上节【疑难剖析】例1列出频率分布表的基础上绘制出频率分布直方图如下：（2）作频率分布折线图将上述频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，这条折线就是所要作的折线图.（如下图所示）思维启示：由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个矩形的面积的大小反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在（64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占12%；等等.【例2】为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件.（1）画出表示样本频率分布的条形图；（2）根据条形图，估计此种产品为二级品或三级品所占的百分比约是多少？思路分析：由于总体中的个体取不同数值很少，只有四种：一级品、二级品、三级品和次品，可分别记为1，2，3和4.所以所取样本的不同数值及其相应的频率可用条形图表示，并根据频率分布条形图估计总体分布.（1）在【疑难剖析】例2列出频率分布表的基础上画样本频率分布的条形图为（2）此种产品为二级品或三级品所占的百分比约是0.27+0.43=0.70=70%.思维启示：频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚.特别应引起同学们注意的是条形图与直方图画法的区别.【例3】有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：［10，15）4，［15，20）5，［20，25）10，［25，30）11，［30，35）9，［35，40）8，［40，45）3（1）画出频率分布直方图；（2）估计总体中，个体分布在［20，35）之内的约占总体的百分之几？思路分析：本题考查样本的频率分布直方图的画法以及用样本频率分布估计总体分布.由于是连续型总体，从而可用频率分布直方图表示样本的频率分布，并估计总体分布.（1）在上一节【疑难剖析】例3列出频率分布表的基础上画频率分布直方图为（3）由频率分布表知数据落在［20，35）范围内的频率为0.20+0.22+0.18=0.60，总体中，个体分布在［20，35）之内的约占总体的60%.点评：频率分布直方图是用小矩形的面积表示该区间内取值的频率，所有小矩形的面积之和等于1．思维启示：用样本的频率分布估计总体分布，分以下两种情况：1．当总体中的个体取不同数值很少时，用频率分布表列出几个不同数值的频率，用相应的条形图的高来表示取各个值的频率；2．当总体中的个体取不同数值很多、甚至无限时，用频率分布表列出各个不同区间内取值的频率，用相应的直方图的面积来表示在各个区间内取值的频率.【例4】200辆汽车经过某一段公路的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在［50，60）的汽车大约有.思路分析：本题考查学生逆向思维能力，再现由频率分布直方图对总体进行估计，从频率分布直方图上找出所要求的信息.解：由于图中的纵坐标是频率除以组距，所以小矩形的面积就是对应本部分区间的频率，于是在［50，60）内的车辆大约有：（6050）×0.03×200=60辆.思维启示：直方图中第二个小矩形的面积约等于总体中的个体落在区间［50，60）内的百分比.拓展迁移【拓展点】下面列出43位美国历届总统（从1789年的华盛顿到2001年的小布什）的就任年龄：57615757585761546851496450486552564654495147555554425156555154516062435556615269644654（1）以5为组距画出相应的频率分布直方图和折线图，并用自己的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况.（2）以4为组距画出相应的频率分布直方图和折线图，并用自己的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况.（3）两次所做的频率分布直方图及折线图相同吗？试分别估计就任年龄在55岁以下的频率，并与实际频率作比较.解析：（1）以5为组距列频率分布表如下：年龄分组频数频率频率/组距［40，45）20.0465［45，50）60.13950.0279［50，55）130.30230.0605［